Нахождение пределов функций без использования правила Лопиталя

Предмет: Математика. Раздел: Математический анализ (пределы функций).

Рассмотрим решение задачи на нахождение пределов функций без использования правила Лопиталя. Для этого будем применять методы разложения, упрощения, приведения к стандартным пределам и другие аналитические подходы.

1.а) Найти [\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}].

Решение:

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

   • Числитель: (x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)),
   • Знаменатель: (x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)).

2. Упростим дробь, сократив общий множитель ((x - 2)): [ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x - 10)} = \frac{x - 3}{x - 10}. ]

3. Подставим (x = 2) в упрощенное выражение: [ \lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{x - 10} = \frac{2 - 3}{2 - 10} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}. ]

Ответ: [ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20} = \frac{1}{8}. ]

1.б) Найти [\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 5x^2 + 2}{2x^3 + 5x^2 - x}].

Решение:

1. Найдем старшую степень числителя и знаменателя. В обоих случаях это (x^3).

2. Разделим числитель и знаменатель на (x^3): [ \frac{3x^3 - 5x^2 + 2}{2x^3 + 5x^2 - x} = \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^3}}{2 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}}. ]

3. При (x \to \infty) все дробные члены ((\frac{5}{x}), (\frac{2}{x^3}), (\frac{1}{x^2})) стремятся к нулю: [ \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^3}}{2 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}} = \frac{3}{2}. ]

Ответ: [ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 - 5x^2 + 2}{2x^3 + 5x^2 - x} = \frac{3}{2}. ]

1.в) Найти [\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + x - 12}{x - 2 - \sqrt{4 - x^2}}].

Решение:

1. Рассмотрим числитель: [ x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4). ]

2. Рассмотрим знаменатель. Для упрощения домножим и разделим на сопряженное выражение (x - 2 + \sqrt{4 - x^2}): [ x - 2 - \sqrt{4 - x^2} = \frac{(x - 2 - \sqrt{4 - x^2})(x - 2 + \sqrt{4 - x^2})}{x - 2 + \sqrt{4 - x^2}} = \frac{(x - 2)^2 - (4 - x^2)}{x - 2 + \sqrt{4 - x^2}}. ]

   Упростим числитель: [ (x - 2)^2 - (4 - x^2) = x^2 - 4x + 4 - 4 + x^2 = 2x^2 - 4x. ]

   Тогда знаменатель становится: [ \frac{2x^2 - 4x}{x - 2 + \sqrt{4 - x^2}}. ]

3. Упростим всю дробь: [ \frac{x^2 + x - 12}{x - 2 - \sqrt{4 - x^2}} = \frac{(x - 3)(x + 4)}{\frac{2x^2 - 4x}{x - 2 + \sqrt{4 - x^2}}}. ]

   После сокращений: [ \frac{x^2 + x - 12}{x - 2 - \sqrt{4 - x^2}} = \frac{(x - 3)(x + 4)(x - 2 + \sqrt{4 - x^2})}{2x^2 - 4x}. ]

4. Подставим (x = 3): [ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 4)(x - 2 + \sqrt{4 - x^2})}{2x^2 - 4x} = 0, ] так как числитель содержит ((x - 3)), а при (x = 3) он обращается в ноль.

Ответ: [ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + x - 12}{x - 2 - \sqrt{4 - x^2}} = 0. ]

Продолжать решение других пунктов?