Нахождение предела (лимита) выражения

Это задание по математике, а именно по разделу математического анализа, тема — «Пределы функций». Задача заключается в нахождении предела (лимита) следующего выражения при \(x \to 8\): \[\frac{\sqrt{9 + 2x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2}\]

Шаг 1: Подставляем \(x = 8\)

Подставим \(x = 8\) прямо в выражение, чтобы понять, существует ли предел напрямую: \[\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 8} - 5}{\sqrt[3]{8} - 2} = \frac{\sqrt{9 + 16} - 5}{\sqrt[3]{8} - 2} = \frac{\sqrt{25} - 5}{2 - 2} = \frac{5 - 5}{0} = \frac{0}{0}\] Получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), поэтому необходимо применить другие методы для нахождения предела.

Шаг 2: Применим прием раскрытия неопределенности

Мы можем использовать такие методы, как разложение в ряд Тейлора или тождественные преобразования.

1. Представим числитель таким образом, чтобы избавиться от иррациональности.

Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к числителю, то есть на \( \sqrt{9 + 2x} + 5 \): \[\frac{\sqrt{9 + 2x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2} \cdot \frac{\sqrt{9 + 2x} + 5}{\sqrt{9 + 2x} + 5} = \frac{(\sqrt{9 + 2x})^2 - 5^2}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt{9 + 2x} + 5)}\] Раскроем скобки в числителе. Используем формулу разности квадратов: \[(\sqrt{9 + 2x})^2 - 5^2 = 9 + 2x - 25 = 2x - 16\] Теперь наше выражение имеет вид: \[\frac{2x - 16}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt{9 + 2x} + 5)}\] Общий множитель \( 2 \) вынесем за скобки: \[2 \cdot \frac{x - 8}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt{9 + 2x} + 5)}\]

2. Применим метод разложения знаменателя:

Знаменатель \( \sqrt[3]{x} - 2 \) можно разложить с помощью формулы для разности кубов: \[\sqrt[3]{x} - 2 = \frac{x - 8}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4}\] Тогда весь предел преобразится так: \[2 \cdot \frac{x - 8}{ \frac{x - 8}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4} \cdot (\sqrt{9 + 2x} + 5)}\] Сократим \(x - 8\) в числителе и знаменателе: \[2 \cdot \frac{1}{ (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4} \cdot (\sqrt{9 + 2x} + 5)\]

Шаг 3: Подставим \(x = 8\) в полученное выражение

Ответ: Предел равен \( \frac{5}{3} \).