Нахождение предела

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Пределы функций)

Дано выражение для нахождения предела: \[ \lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} \]

Это классический пример задачи на нахождение предела с использованием экспоненциальной функции \( e^x \).

Решение:

1. Подставляем значение предела напрямую: Если подставить \( x = 0 \), то в числителе получится: \[ e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0 \] В знаменателе: \[ x = 0 \] Получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \), поэтому нужно применить правило Лопиталя.
2. Применяем правило Лопиталя: Правило Лопиталя говорит, что если предел принимает форму \( \frac{0}{0} \), то нужно взять производные числителя и знаменателя, а затем снова найти предел:
   • Производная числителя \( e^x - e^{-x} \) равна: \[ \frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x} \]
   • Производная знаменателя \( x \): \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \]
   Теперь выражение для предела выглядит так: \[ \lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{1} \]
3. Подставляем \( x = 0 \): \[ e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2 \] Таким образом, значение предела: \[ \lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = 2 \]

Ответ:

\[ \lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = 2 \]