Исследовать функцию на экстремум

Предмет: Математика (Раздел: Математический анализ, Тема: Исследование функции на экстремум)

Задание: Исследовать функцию \( Z = 4xy - 12x^2 - 3x^2 + 8x + 4y \) на экстремум.

Для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо найти ее частные производные по \(x\) и \(y\), приравнять их к нулю и решить систему уравнений для нахождения критических точек. Затем нужно провести тест на второй дифференциал или использовать критерий вторых производных для проверки на экстремум.

1. Найдем частную производную по \(x\):

\[ Z = 4xy - 12x^2 - 3x^2 + 8x + 4y \]

Производная по \(x\) (дифференцируем по \(x\), считая \(y\) константой):

\[\frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (4xy) - \frac{\partial}{\partial x} (12x^2) - \frac{\partial}{\partial x} (3x^2) + \frac{\partial}{\partial x} (8x) + \frac{\partial}{\partial x} (4y)\]

Вычислим каждую частную производную:

• \[\frac{\partial (4xy)}{\partial x} = 4y\]
• \[\frac{\partial (-12x^2)}{\partial x} = -24x\]
• \[\frac{\partial (-3x^2)}{\partial x} = -6x\]
• \[\frac{\partial (8x)}{\partial x} = 8\]
• \[\frac{\partial (4y)}{\partial x} = 0 \quad (\text{так как } y \text{ является константой})\]

Теперь соберем все вместе:

\[\frac{\partial Z}{\partial x} = 4y - 24x - 6x + 8 = 4y - 30x + 8\]

2. Найдем частную производную по \(y\):

\[ Z = 4xy - 12x^2 - 3x^2 + 8x + 4y \]

Производная по \(y\) (дифференцируем по \(y\), считая \(x\) константой):

\[\frac{\partial Z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (4xy) - \frac{\partial}{\partial y} (12x^2) - \frac{\partial}{\partial y} (3x^2) + \frac{\partial}{\partial y} (8x) + \frac{\partial}{\partial y} (4y)\]

Вычислим каждую частную производную:

• \[\frac{\partial (4xy)}{\partial y} = 4x\]
• \[\frac{\partial (-12x^2)}{\partial y} = 0 \quad (\text{так как } x^2 \text{ не зависит от } y)\]
• \[\frac{\partial (-3x^2)}{\partial y} = 0\]
• \[\frac{\partial (8x)}{\partial y} = 0\]
• \[\frac{\partial (4y)}{\partial y} = 4\]

Теперь соберем все вместе:

\[\frac{\partial Z}{\partial y} = 4x + 4\]

3. Решаем систему уравнений:

Теперь решим систему уравнений:

1. \(\frac{\partial Z}{\partial x} = 4y - 30x + 8 = 0\)
2. \(\frac{\partial Z}{\partial y} = 4x + 4 = 0\)

Из второго уравнения:

\[ 4x + 4 = 0 \implies 4x = -4 \implies x = -1 \]

Теперь подставим \(x = -1\) в первое уравнение:

\[ 4y - 30(-1) + 8 = 0 \implies 4y + 30 + 8 = 0 \implies 4y + 38 = 0 \implies 4y = -38 \implies y = -\frac{38}{4} = -\frac{19}{2} \]

4. Проверка на экстремум с использованием критерия вторых производных:

Найдем вторые производные:

• \[\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (4y - 30x + 8) = -30\]
• \[\frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (4x + 4) = 0\]
• \[\frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (4y - 30x + 8) = 4\]

Дискриминант для определения характера критической точки:

\[ D = \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} \right)^2 = (-30)(0) - (4)^2 = -16 \]

Так как дискриминант \(D = -16 < 0\), это означает, что в точке нет ни минимума, ни максимума, а существует седловая точка в точке \( x = -1 \), \( y = -\frac{19}{2} \).

Ответ:

Функция имеет седловую точку в точке \( x = -1 \), \( y = -\frac{19}{2} \).