Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Доказать(найти b(E)), что lim x -> - 7 (2x ^ 2 + 15x + 7)/(x + 7) = - 13
\[ \lim_ {x \to -7} \frac{2x^2 + 15x + 7}{x + 7} = -13 \]
Для того чтобы найти предел функции, когда \( x \to -7 \), проверим, что происходит, когда мы напрямую подставляем это значение.
Подставляем \( x = -7 \) в числитель и знаменатель:
\[ 2(-7)^2 + 15(-7) + 7 = 2(49) - 105 + 7 = 98 - 105 + 7 = 0 \]
\[ -7 + 7 = 0 \]
Таким образом, при \( x = -7 \) оба числитель и знаменатель обращаются в 0. Это ситуация неопределенности вида \( \frac{0}{0} \).
Чтобы решить предел в такой ситуации, нам необходимо упростить выражение.
Попробуем разложить числитель на множители. Числитель имеет вид \( 2x^2 + 15x + 7 \). Мы хотим представить его в виде произведения двух многочленов первой степени. Найдем коэффициенты разложения:
\[ 2x^2 + 15x + 7 = (2x + a)(x + b) \]
Раскроем скобки:
\[ (2x + a)(x + b) = 2x^2 + (2b + a)x + ab \]
Теперь приравняем коэффициенты:
Теперь найдем значения \( a \) и \( b \).
\[ 2b + a = 2(7) + 1 = 14 + 1 = 15. \]
Эти значения удовлетворяют уравнению. Значит, разложение верно:
\[ 2x^2 + 15x + 7 = (2x + 1)(x + 7). \]
Теперь можем вернуться к нашему пределу:
\[ \lim_ {x \to -7} \frac{2x^2 + 15x + 7}{x + 7} = \lim_ {x \to -7} \frac{(2x + 1)(x + 7)}{x + 7}. \]
Сократим \( x + 7 \) в числителе и знаменателе (при \( x \neq -7 \)):
\[ \lim_ {x \to -7} (2x + 1). \]
Теперь можно подставить \( x = -7 \):
\[ 2(-7) + 1 = -14 + 1 = -13. \]
\[ \lim_{x \to -7} \frac{2x^2 + 15x + 7}{x + 7} = -13. \]
Таким образом, предел действительно равен \(-13\), что и требовалось доказать.