Найти формулу общего члена последовательности

Предмет: Математика

Раздел: Последовательности

Задание: Найти формулу общего члена последовательности $\text{(}\{x_n\}\text{)}$.

Решение:

а) Последовательность: $\text{(}1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\dots \text{)}$

Заметим:

• Числитель каждого члена равен $\text{(}1\text{)}$.
• Знаменатель образует последовательность нечетных чисел: $\text{(}1,3,5,7,\dots \text{)}$.

Общая формула для n-го нечетного числа — это $\text{(}2n-1\text{)}$.

Таким образом, общий член последовательности можно записать: $\text{[}{x}_n=\frac{1}{2n-1}.\text{]}$

б) Последовательность: $\text{(}1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\dots \text{)}$

Заметим:

• Числитель каждого члена равен $\text{(}1\text{)}$.
• Знаменатель образует последовательность квадратов натуральных чисел: $\text{(}1=1^2,4=2^2,9=3^2,16=4^2,\dots \text{)}$.

Таким образом, общий член последовательности записывается как: $\text{[}{x}_n=\frac{1}{n^2}.\text{]}$

в) Последовательность: $\text{(}2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \text{)}$

Заметим:

• Числа убывают по следующему правилу: сначала $\text{(}2,1\text{)}$, далее — обратные значения натуральных чисел ($\text{(}\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \text{)}$).

Общий член последовательности:

• Если $\text{(}n=1\text{)}$: $\text{(}{x}_n=2\text{)}$,
• Если $\text{(}n=2\text{)}$: $\text{(}{x}_n=1\text{)}$,
• Если $\text{(}n\ge 3\text{)}$: $\text{(}{x}_n=\frac{1}{n-2}\text{)}$.

Формула: $\text{[}{x}_n=\{\begin{array}{ll}2,& n=1,\\ 1,& n=2,\\ \frac{1}{n-2},& n\ge 3.\end{array}\text{]}$

г) Последовательность: $\text{(}-1,2,-3,4,-5,\dots \text{)}$

Заметим:

• Члены чередуются по знаку (знак зависит от четности $\text{(}n\text{)}$).
• Абсолютные значения членов последовательности равны натуральным числам: $\text{(}1,2,3,4,5,\dots \text{)}$.

Формула общего члена:

• Для нечетного $\text{(}n\text{)}$ (отрицательный знак): $((-1{)}^n\cdot n)$,
• Учитывая чередование по знаку, общий член: $\text{[}{x}_n=(-1{)}^n\cdot n.\text{]}$

Ответ:

а) $\text{(}{x}_n=\frac{1}{2n-1}\text{)}$,

б) $\text{(}{x}_n=\frac{1}{n^2}\text{)}$,

в) $\text{(}{x}_n=\{\begin{array}{ll}2,& n=1,\\ 1,& n=2,\\ \frac{1}{n-2},& n\ge 3.\end{array}\text{)}$,

г) $\text{(}(x_n=(-1{)}^n\cdot n)\text{)}$.