Предмет: Математика
Раздел: Последовательности
Задание: Найти формулу общего члена последовательности \(\{x_n\}\).
Решение:
а) Последовательность: \(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \ldots\)
Заметим:
- Числитель каждого члена равен \(1\).
- Знаменатель образует последовательность нечетных чисел: \(1, 3, 5, 7, \ldots\).
Общая формула для n-го нечетного числа — это \(2n - 1\).
Таким образом, общий член последовательности можно записать: \[ x_n = \frac{1}{2n - 1}. \]
б) Последовательность: \(1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \ldots\)
Заметим:
- Числитель каждого члена равен \(1\).
- Знаменатель образует последовательность квадратов натуральных чисел: \(1 = 1^2, 4 = 2^2, 9 = 3^2, 16 = 4^2, \ldots\).
Таким образом, общий член последовательности записывается как: \[ x_n = \frac{1}{n^2}. \]
в) Последовательность: \(2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\)
Заметим:
- Числа убывают по следующему правилу: сначала \(2, 1\), далее — обратные значения натуральных чисел (\(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\)).
Общий член последовательности:
- Если \(n = 1\): \(x_n = 2\),
- Если \(n = 2\): \(x_n = 1\),
- Если \(n \geq 3\): \(x_n = \frac{1}{n - 2}\).
Формула: \[ x_n = \begin{cases} 2, & n = 1, \\ 1, & n = 2, \\ \frac{1}{n-2}, & n \geq 3. \end{cases} \]
г) Последовательность: \(-1, 2, -3, 4, -5, \ldots\)
Заметим:
- Члены чередуются по знаку (знак зависит от четности \(n\)).
- Абсолютные значения членов последовательности равны натуральным числам: \(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\).
Формула общего члена:
- Для нечетного \(n\) (отрицательный знак): ((-1)^n \cdot n),
- Учитывая чередование по знаку, общий член: \[ x_n = (-1)^n \cdot n. \]
Ответ:
а) \(x_n = \frac{1}{2n - 1}\),
б) \(x_n = \frac{1}{n^2}\),
в) \(x_n = \begin{cases} 2, & n = 1, \\ 1, & n = 2, \\ \frac{1}{n-2}, & n \geq 3. \end{cases}\),