Найди закономерность в выборке и выяви формулу последовательности выборки

Предмет: Математика
Раздел: Теория числовых последовательностей

Рассмотрим данную последовательность:
(1, 2, 4, 8, -16, 1, 2, 4, 8, -16, 1, 2, 4, 8, -16)

1. Анализ структуры последовательности

Заметим, что последовательность повторяется каждые 5 элементов:
(1, 2, 4, 8, -16)

То есть, последовательность является периодической с периодом 5.

2. Выявление закономерности

Рассмотрим первые 5 членов:

• Первый член: 1
• Второй член: 2
• Третий член: 4
• Четвертый член: 8
• Пятый член: -16

Заметим, что первые четыре члена представляют собой степенную зависимость:
 a_n = 2^{n-1}  для  n = 1,2,3,4 .

Пятый член отличается, он равен  -16 .

Таким образом, можно записать общую формулу для последовательности с учетом периодичности:

 a_n = \begin{cases} 2^{(n-1) \mod 5}, & \text{если } (n \mod 5) \neq 0 \ -16, & \text{если } (n \mod 5) = 0 \end{cases} 

Где  n \mod 5  обозначает остаток от деления  n  на 5.

3. Проверка формулы

Подставим несколько значений:

•  n = 1 :  2^{(1-1)} = 2^0 = 1 
•  n = 2 :  2^{(2-1)} = 2^1 = 2 
•  n = 3 :  2^{(3-1)} = 2^2 = 4 
•  n = 4 :  2^{(4-1)} = 2^3 = 8 
•  n = 5 :  -16  (по правилу)

Формула верно описывает последовательность.

4. Итог

Найденная закономерность:
Последовательность является периодической с периодом 5, где первые 4 элемента следуют по формуле  2^{(n-1) \mod 5} , а пятый элемент всегда равен  -16 .