Какие из следующих последовательностей ограничены сверху?

Давайте анализировать каждую из последовательностей по порядку, чтобы определить, ограничены ли они сверху, снизу или вообще ограничены.

Последовательность (а): 2, 4, 6, 8, …

Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию с общим членом \( a_n = 2n \), где \( n = 1, 2, 3, \dots \).

• Ограниченность сверху: Последовательность не ограничена сверху, так как \( 2n \) может становиться сколь угодно большим по мере увеличения \( n \). Например, при \( n = 100 \) значение \( a_n = 200 \), а при \( n = 1000 \), \( a_n = 2000 \).
• Ограниченность снизу: Последовательность ограничена снизу, потому что каждое значение \( a_n = 2n \) больше или равно 2 (минимальный член последовательности).
• Вывод: Ограничена снизу, но не ограничена сверху.

Последовательность (б): -1, -4, -9, -16, …

Последовательность задаётся общим членом \( a_n = -n^2 \).

• Ограниченность сверху: Так как \( a_n = -n^2 \) убывает (чем больше \( n \), тем меньше значение), максимальный член последовательности \( -1 \) — это при \( n = 1 \). Таким образом, последовательность ограничена сверху значением -1.
• Ограниченность снизу: Последовательность не ограничена снизу, так как \( -n^2 \) стремится к \( -\infty \) при увеличении \( n \).
• Вывод: Ограничена сверху, но не ограничена снизу.

Последовательность (в): \( \frac{1}{3}, \frac{1}{3^2}, \frac{1}{3^3}, \frac{1}{3^4}, \dots \)

Последовательность задаётся как \( a_n = \frac{1}{3^n} \).

• Ограниченность сверху: Каждый член последовательности \( a_n = \frac{1}{3^n} \) положительный и меньше 1, поэтому последовательность ограничена сверху значением 1.
• Ограниченность снизу: Поскольку \( a_n > 0 \) для любого \( n \), последовательность ограничена снизу значением 0.
• Вывод: Ограничена сверху и снизу, то есть ограничена.

Последовательность (г): -2, 4, -8, 16, …

• Ограниченность сверху: Члены последовательности не ограничены сверху, так как положительные члены \( a_{2k} = 4, 16, 64, \dots \) могут быть сколь угодно большими.
• Ограниченность снизу: Члены последовательности не ограничены снизу, так как отрицательные члены \( a_{2k+1} = -2, -8, -32, \dots \) могут быть сколь угодно малыми.
• Вывод: Не ограничена ни сверху, ни снизу.

Итоговая таблица

Последовательность задаётся общим членом \( a_n = (-2)^n \).