Измерить площадь боковой поверхности усечённого конуса с точностью в 1%

Предмет: Физика (или прикладная математика)

Раздел: Погрешности измерений

Условие задачи:

Нужно измерить площадь боковой поверхности усечённого конуса с точностью в 1%. Даны радиусы оснований усечённого конуса (2 м и 1 м) и длина образующей (5 м). Следует определить погрешности (АП) измерений радиусов и образующей, а также выбрать, сколько значащих цифр нужно использовать для числа π.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

\[ S = \pi \cdot (R + r) \cdot L, \]

где:

• \( R \) — радиус большего основания (2 м),
• \( r \) — радиус меньшего основания (1 м),
• \( L \) — длина образующей (5 м).

Алгоритм решения:

1. Аппроксимированные ошибки для значений:

По условию требования к точности задачи составляют 1% от результата. Чтобы соблюдать это требование, нужно вычислить АП (абсолютные погрешности) для каждой входящей в формулу переменной \( R \), \( r \) и \( L \). Обозначим погрешность площади поверхности как 1%, то есть:

\[ \Delta S = 0.01 \times S \]

2. Найдём погрешность площади:

По правилу сложения относительных погрешностей для произведения величин точность оценки площади будет зависеть от точности радиусов \( R \), \( r \) и образующей \( L \). Формулу погрешностей можно выразить через сумму относительных погрешностей:

\[ \frac{\Delta S}{S} \approx \frac{\Delta R}{R + r} + \frac{\Delta r}{R + r} + \frac{\Delta L}{L} + \Delta \pi, \]

где \( \Delta R \), \( \Delta r \), \( \Delta L \) — абсолютные погрешности радиусов и образующей соответственно, \( \Delta \pi \) — погрешность числа \( \pi \).

3. Определение относительных погрешностей:

Для того чтобы общая погрешность была не более 1% (\( 0.01 \)), аккумулированная погрешность от всех переменных должна не превышать 0.01. Разберём предложенные варианты:

• Вариант 1: АП(\( R \)) = 0,0075; АП(\( r \)) = 0,0075; АП(\( L \)) = 0,013 — эти значения именно и дают требуемую точность согласно расчётам.
• Число \( \pi \) должно быть взято с 3 знаками после запятой (π = 3.14), чтобы не нарушить требование точности 1%.

4. Итог:

Правильный вариант — третий.

Таким образом, для выполнения задачи с точностью в 1%, погрешности измерения радиусов и образующей должны быть следующими:

• \( \Delta R \approx 0,0075 \),
• \( \Delta r \approx 0,0075 \),
• \( \Delta L \approx 0,013 \).

Число \( \pi \) можно взять с точностью до двух десятичных знаков (π = 3.14).