Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Судя по заданию, это планиметрия, раздел аналитическая геометрия на плоскости. Задача связана с координатами точек на плоскости и нахождением различных характеристик треугольника (высоты, медианы, точки пересечения высоты и медианы).
Рассмотрим треугольник с координатами его вершин:
Необходимо решить три задачи:
Высота CD перпендикулярна стороне AB треугольника. Поэтому для того чтобы найти уравнение высоты CD, нужно:
Уравнение прямой можно записать в виде:
y = kx + b,
где k — угловой коэффициент (наклон прямой), а b — свободный член (пересечение с осью y).
Чтобы найти k, используем координаты точек A(4; 1) и B(16; -8) и формулу для углового коэффициента:
k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-8 - 1}{16 - 4} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4}.
Следовательно, уравнение прямой AB выглядит как:
y = -\frac{3}{4}x + b.
Теперь подставим координаты точки A(4; 1), чтобы найти b:
1 = -\frac{3}{4} \cdot 4 + b \quad \Rightarrow \quad 1 = -3 + b \quad \Rightarrow \quad b = 4.
Итак, уравнение прямой AB:
y = -\frac{3}{4}x + 4.
Высота CD перпендикулярна стороне AB, следовательно, её угловой коэффициент k будет равен:
k_{CD} = \frac{4}{3},
так как угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к AB, равен обратной величине с противоположным знаком от углового коэффициента AB (-\frac{3}{4}).
Теперь уравнение высоты CD будет иметь вид:
y = \frac{4}{3}x + b.
Для нахождения b подставим координаты точки C(14; 6):
6 = \frac{4}{3} \cdot 14 + b \quad \Rightarrow \quad 6 = \frac{56}{3} + b \quad \Rightarrow \quad b = 6 - \frac{56}{3} = \frac{18}{3} - \frac{56}{3} = \frac{-38}{3}.
Итак, уравнение высоты CD:
y = \frac{4}{3}x - \frac{38}{3}.
Чтобы найти длину высоты CD, нам нужно воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой. Найдем расстояние от точки C(14; 6) до прямой AB, уравнение которой мы уже нашли:
y = -\frac{3}{4}x + 4.
Общее уравнение этой прямой можно переписать как:
\frac{3}{4}x + y - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x + 4y - 16 = 0.
Формула для вычисления расстояния от точки C(x_1, y_1) до прямой Ax + By + C = 0:
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
Для прямой 3x + 4y - 16 = 0, подставим A = 3, B = 4, C = -16, а координаты точки C(14; 6):
d = \frac{|3 \cdot 14 + 4 \cdot 6 - 16|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|42 + 24 - 16|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|50|}{\sqrt{25}} = \frac{50}{5} = 10.
Длина высоты CD равна 10.
Чтобы найти точку пересечения медианы и высоты, нужно:
Медиана AE выходит из вершины A(4; 1) и пересекает сторону BC в её середине.
E\left( \frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{16 + 14}{2}; \frac{-8 + 6}{2} \right) = (15; -1).
Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки A(4; 1) и E(15; -1).
k = \frac{-1 - 1}{15 - 4} = \frac{-2}{11} = -\frac{2}{11}.
Таким образом, уравнение медианы AE:
y = -\frac{2}{11}x + b.
Подставим координаты точки A(4; 1), чтобы найти b:
1 = -\frac{2}{11} \cdot 4 + b \quad \Rightarrow \quad 1 = -\frac{8}{11} + b \quad \Rightarrow \quad b = 1 + \frac{8}{11} = \frac{11}{11} + \frac{8}{11} = \frac{19}{11}.
Уравнение медианы AE:
y = -\frac{2}{11}x + \frac{19}{11}.
Теперь нужно решить систему уравнений высоты CD:
y = \frac{4}{3}x - \frac{38}{3}
и медианы AE:
y = -\frac{2}{11}x + \frac{19}{11}.
Приравняем правые части уравнений:
\frac{4}{3}x - \frac{38}{3} = -\frac{2}{11}x + \frac{19}{11}.
Умножим всё уравнение на общий знаменатель 33, чтобы избавиться от дробей:
11(4x - 38) = 3(-2x + 19),
44x - 418 = -6x + 57.
Переносим все слагаемые с x в одну сторону, а числа — в другую:
44x + 6x = 57 + 418,
50x = 475 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{475}{50} = 9.5.
Теперь подставим x = 9.5 в уравнение медианы AE для нахождения y:
y = -\frac{2}{11} \cdot 9.5 + \frac{19}{11} = -\frac{19}{11} + \frac{19}{11} = 0.
Итак, точка пересечения медианы AE и высоты CD имеет координаты (9.5; 0).