Найти внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01

Предмет: Геометрия
Раздел: Планиметрия (углы треугольника)

Для нахождения внутреннего угла ( \angle B ) треугольника с заданными вершинами ( A(2, 2) ), ( B(2, -5) ), ( C(-5, 3) ), будем использовать скалярное произведение векторов. Это позволяет вычислить угол между двумя векторами, исходящими из одной точки.

Шаг 1. Построение векторов

Вектор ( \overrightarrow{BA} ) направлен от точки ( B ) к точке ( A ): \overrightarrow{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B) = (2 - 2, 2 - (-5)) = (0, 7).

Вектор ( \overrightarrow{BC} ) направлен от точки ( B ) к точке ( C ): \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (-5 - 2, 3 - (-5)) = (-7, 8).

Шаг 2. Формула угла между векторами

Угол между двумя векторами можно найти через их скалярное произведение и длины: \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}, где:

• \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} — скалярное произведение векторов,
• |\overrightarrow{BA}| и |\overrightarrow{BC}| — длины (модули) векторов.

Шаг 3. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов: \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (0)(-7) + (7)(8) = 0 + 56 = 56.

Шаг 4. Длины векторов

Длина вектора \overrightarrow{BA}: |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(0)^2 + (7)^2} = \sqrt{49} = 7.

Длина вектора \overrightarrow{BC}: |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-7)^2 + (8)^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}.

Шаг 5. Вычисление косинуса угла

Подставим значения в формулу для косинуса: \cos \theta = \frac{56}{7 \cdot \sqrt{113}} = \frac{56}{7\sqrt{113}} = \frac{8}{\sqrt{113}}.

Шаг 6. Нахождение угла

Теперь вычислим угол \theta (радианы): \theta = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{113}}\right).

Вычислим приближённое значение:

1. \sqrt{113} \approx 10.6301.
2. \frac{8}{\sqrt{113}} \approx \frac{8}{10.6301} \approx 0.7526.
3. \arccos(0.7526) \approx 0.7201 радиан.

Ответ:

Внутренний угол при вершине ( B ) равен 0.72 радиан с точностью до 0.01.