Найти уравнение высоты CD

Предмет данной задачи - это геометрия, относящаяся к планиметрии, которая занимается изучением фигур на плоскости. Рассмотрим каждую часть задачи по отдельности.

1) Уравнение высоты CD и её длину:

Высота треугольника - это отрезок, проведенный от вершины перпендикулярно к противоположной стороне или её продолжению. Чтобы найти уравнение высоты CD, необходимо определить уравнение прямой AB, к которой высота будет перпендикулярна. Координаты точек: $A(3,10)$, $B(9,6)$, $C(-3,2)$.

Сначала определим уравнение прямой AB. Для этого вычислим её угловой коэффициент: $k_{A}B=(y2-y1)/(x2-x1)=(6-10)/(9-3)=-4/6=-2/3$. Уравнение прямой имеет вид $y-y1=k(x-x1)$. Подставим точку $A(3,10)$: $y-10=-2/3(x-3)$. Упростим: $y=-2/3x+2+10$, $y=-2/3x+12$.

Высота CD будет перпендикулярна и поэтому её угловой коэффициент будет обратным по знаку и величине к коэффициенту AB, то есть $k_{C}D=3/2$. Используем точку $C(-3,2)$ для составления уравнения высоты: $y-2=3/2(x+3)$. Упростим: $y=3/2x+9/2+2$, $y=3/2x+13/2$.

Теперь найдём длину высоты CD: Преобразуем уравнение AB в общий вид $2x+3y-36=0$ и применим формулу расстояния от точки до прямой: $d=|Ax1+By1+C|/sqrt(A^2+B^2)$, где $A=2$, $B=3$, $C=-36$, точка $C(-3,2)$. $d=|2(-3)+3(2)-36|/sqrt(2^2+3^2)$, $d=|-6+6-36|/sqrt(4+9)$, $d=|-36|/sqrt(13)$, $d=36/sqrt(13)$.

2) Уравнение медианы AE и координаты точки K:

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Сначала найдем середину стороны BC. Координаты точек B и C: $B(9,6)$, $C(-3,2)$. Середина BC (M): $Mx=(xB+xC)/2=(9-3)/2=3$, $My=(yB+yC)/2=(6+2)/2=4$. Тогда точка $M(3,4)$.

Найдём точку K - пересечение медианы AE с высотой CD. Уравнение высоты: $y=3/2x+13/2$. Подставим $x=3$ в уравнение высоты: $y=3/2(3)+13/2$, $y=9/2+13/2$, $y=22/2$, $y=11$. Точка K имеет координаты $(3,11)$.

3) Уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне AB:

Прямая, параллельная заданной, имеет тот же угловой коэффициент, что и прямая AB. Поэтому угловой коэффициент будет $k=-2/3$. Используем точку $K(3,11)$: $y-11=-2/3(x-3)$. Упростим: $y=-2/3x+2+11$, $y=-2/3x+13$.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку K и параллельной AB, будет: $y=-2/3x+13$.

Теперь составим уравнение медианы AE. Медиана проходит через A$(3,10)$ и M$(3,4)$. Заметим, что x-координаты точек A и M одинаковы ($3$), следовательно, медиана является вертикальной линией $x=3$.