Найти уравнение высоты CD

Предмет данной задачи - это геометрия, относящаяся к планиметрии, которая занимается изучением фигур на плоскости. Рассмотрим каждую часть задачи по отдельности.

1) Уравнение высоты CD и её длину:

Высота треугольника - это отрезок, проведенный от вершины перпендикулярно к противоположной стороне или её продолжению. Чтобы найти уравнение высоты CD, необходимо определить уравнение прямой AB, к которой высота будет перпендикулярна. Координаты точек: A(3, 10), B(9, 6), C(-3, 2).

Сначала определим уравнение прямой AB. Для этого вычислим её угловой коэффициент: k_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 10) / (9 - 3) = -4 / 6 = -2/3. Уравнение прямой имеет вид y - y1 = k(x - x1). Подставим точку A(3, 10): y - 10 = -2/3(x - 3). Упростим: y = -2/3x + 2 + 10, y = -2/3x + 12.

Высота CD будет перпендикулярна и поэтому её угловой коэффициент будет обратным по знаку и величине к коэффициенту AB, то есть k_CD = 3/2. Используем точку C(-3, 2) для составления уравнения высоты: y - 2 = 3/2(x + 3). Упростим: y = 3/2x + 9/2 + 2, y = 3/2x + 13/2.

Теперь найдём длину высоты CD: Преобразуем уравнение AB в общий вид 2x + 3y - 36 = 0 и применим формулу расстояния от точки до прямой: d = |Ax1 + By1 + C| / sqrt(A^2 + B^2), где A = 2, B = 3, C = -36, точка C(-3, 2). d = |2(-3) + 3(2) - 36| / sqrt(2^2 + 3^2), d = |-6 + 6 - 36| / sqrt(4 + 9), d = | -36 | / sqrt(13), d = 36 / sqrt(13).

2) Уравнение медианы AE и координаты точки K:

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Сначала найдем середину стороны BC. Координаты точек B и C: B(9, 6), C(-3, 2). Середина BC (M): Mx = (xB + xC) / 2 = (9 - 3) / 2 = 3, My = (yB + yC) / 2 = (6 + 2) / 2 = 4. Тогда точка M(3, 4).

Найдём точку K - пересечение медианы AE с высотой CD. Уравнение высоты: y = 3/2x + 13/2. Подставим x = 3 в уравнение высоты: y = 3/2(3) + 13/2, y = 9/2 + 13/2, y = 22/2, y = 11. Точка K имеет координаты (3, 11).

3) Уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне AB:

Прямая, параллельная заданной, имеет тот же угловой коэффициент, что и прямая AB. Поэтому угловой коэффициент будет k = -2/3. Используем точку K(3, 11): y - 11 = -2/3(x - 3). Упростим: y = -2/3x + 2 + 11, y = -2/3x + 13.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку K и параллельной AB, будет: y = -2/3x + 13.

Теперь составим уравнение медианы AE. Медиана проходит через A(3, 10) и M(3, 4). Заметим, что x-координаты точек A и M одинаковы (3), следовательно, медиана является вертикальной линией x = 3.