Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Даны вершины треугольника \( A(4;-4) \), \( B(8;2) \), \( C(3;8) \). Нужно выполнить следующие задачи:
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, \( A(x_1, y_1) \) и \( B(x_2, y_2) \), используем формулу уравнения прямой:
\[ (y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \]
Подставим координаты точек \( A(4, -4) \) и \( B(8, 2) \) в формулу:
Найдем коэффициент наклона прямой:
\[ k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - (-4)}{8 - 4} = \frac{6}{4} = 1.5 \]
Теперь подставим значение \( k = 1.5 \) и точку \( A(4;-4) \) в уравнение:
\[ y - (-4) = 1.5(x - 4) \]
\[ y + 4 = 1.5x - 6 \]
\[ y = 1.5x - 6 - 4 \]
\[ y = 1.5x - 10 \]
Уравнение стороны AB: \[ y = 1.5x - 10 \]
Высота — это прямая, перпендикулярная к стороне треугольника и проходящая через противоположную вершину. Мы знаем, что уравнение стороны \( AB \) имеет вид \( y = 1.5x - 10 \), а коэффициент наклона этой прямой \( k_{AB} = 1.5 \).
Коэффициент наклона \( k \) у перпендикулярной прямой к \( AB \) будет обратным и взятым с противоположным знаком:
\[ k_{CH} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{1.5} = -\frac{2}{3} \]
Теперь у нас есть наклон \( k_{CH} = -\frac{2}{3} \), а также точка \( C(3, 8) \), через которую проходит высота. Используем уравнение прямой через точку для \( C(3, 8) \):
\[ y - y_C = k_{CH}(x - x_C) \]
Подставляем:
\[ y - 8 = -\frac{2}{3}(x - 3) \]
\[ y - 8 = -\frac{2}{3}x + 2 \]
\[ y = -\frac{2}{3}x + 2 + 8 \]
\[ y = -\frac{2}{3}x + 10 \]
Уравнение высоты CH: \[ y = -\frac{2}{3}x + 10 \]
Медиана — это прямая, которая соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Сначала найдем середину стороны \( BC \). Координаты середины \( M \) находятся по формуле:
\[ M\left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) \]
Подставляем координаты \( B(8, 2) \) и \( C(3, 8) \):
\[ M = \left( \frac{8 + 3}{2}, \frac{2 + 8}{2} \right) = \left( \frac{11}{2}, \frac{10}{2} \right) = \left( 5.5, 5 \right) \]
Теперь у нас есть точка \( A(4, -4) \) и точка \( M(5.5, 5) \), через которые проходит медиана. Используем уравнение прямой через две точки \( A \) и \( M \):
Находим наклон прямой \( k_{AM} \):
\[ k_{AM} = \frac{5 - (-4)}{5.5 - 4} = \frac{9}{1.5} = 6 \]
Теперь указываем уравнение прямой через точку \( A(4, -4) \):
\[ y - (-4) = 6(x - 4) \]
\[ y + 4 = 6x - 24 \]
\[ y = 6x - 24 - 4 \]
\[ y = 6x - 28 \]
Уравнение медианы AM: \[ y = 6x - 28 \]
Нам нужно найти точку пересечения двух прямых: медианы \( y = 6x - 28 \) и высоты \( y = -\frac{2}{3}x + 10 \). Приравняем правые части уравнений:
\[ 6x - 28 = -\frac{2}{3}x + 10 \]
Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дробей:
\[ 18x - 84 = -2x + 30 \]
Переносим все \( x \) в одну часть:
\[ 18x + 2x = 30 + 84 \]
\[ 20x = 114 \]
\[ x = \frac{114}{20} = 5.7 \]
Теперь подставим \( x = 5.7 \) в уравнение любой из прямых, например, в уравнение медианы:
\[ y = 6(5.7) - 28 = 34.2 - 28 = 6.2 \]
Точка пересечения \( N(5.7, 6.2) \).
Точка N: \[ N(5.7; 6.2) \]
Если прямая параллельна другой, то их коэффициенты наклона одинаковы. Коэффициент наклона стороны \( AB \) равен \( 1.5 \), следовательно, прямая параллельная \( AB \), проходящая через \( C(3; 8) \), будет иметь такой же наклон. Используем стандартную формулу прямой с известным наклоном и координатами точки:
\[ y - y_C = k(x - x_C) \]
Подставляем \( k = 1.5 \) и \( C(3, 8) \):
\[ y - 8 = 1.5(x - 3) \]
\[ y - 8 = 1.5x - 4.5 \]
\[ y = 1.5x - 4.5 + 8 \]
\[ y = 1.5x + 3.5 \]
Уравнение прямой, параллельной AB: \[ y = 1.5x + 3.5 \]
а) Уравнение стороны \( AB \): \( y = 1.5x - 10 \)
б) Уравнение высоты \( CH \): \( y = -\frac{2}{3}x + 10 \)
в) Уравнение медианы \( AM \): \( y = 6x - 28 \)
г) Точка пересечения \( N \): \( N(5.7; 6.2) \)
д) Уравнение прямой, параллельной \( AB \), проходящей через \( C \): \( y = 1.5x + 3.5 \)