Найти уравнение средней линии (MN) трапеции

Определение предмета и раздела

Из условия задачи видно, что речь идёт о геометрии, а более конкретно — это раздел планиметрии (работа с плоскими фигурами), а также аналитическая геометрия (рассмотрение фигур в декартовой системе координат).

Мы имеем дело с трапецией, для которой нужно:

1. Составить уравнение одной из сторон (ВС).
2. Найти уравнение средней линии (MN) трапеции.
3. Найти длину высоты (АК).
4. Построить чертеж.

Шаг 1: Построение чертежа

Начнём с построения трапеции ВАСD на координатной плоскости. Вершины фигуры задаются следующими точками:

• A(-2, -2)
• B(-1, 2)
• C(3, 4)
• D(6, 2)

Нарисуем четыре точки на координатной плоскости и соединим их последовательно, чтобы получилось представление о трапеции.

Шаг 2: Уравнение стороны BC

Используем общий метод для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, используя формулу для уравнения прямой через две точки:

y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)

В нашем случае сторона BC проходит через точки B(-1, 2) и C(3, 4). Подставим эти координаты в уравнение:

y - 2 = \frac{4 - 2}{3 - (-1)}(x + 1)

Рассчитаем наклон (k), это будет:

k = \frac{4 - 2}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Итак, уравнение прямой примет такой вид:

y - 2 = \frac{1}{2}(x + 1)

Упростим уравнение:

y - 2 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}

y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + 2

y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}

Таким образом, уравнение прямой BC:

y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}

Шаг 3: Уравнение средней линии MN

Средняя линия трапеции соединяет середины её боковых сторон. Для нахождения её уравнения сперва найдём середины сторон AB и CD.

Обозначим середины сторон:

• M — середина стороны AB.
• N — середина стороны CD.

Координаты средней точки отрезка, соединяющего две точки (x_1, y_1) и (x_2, y_2), находятся по следующим формулам:

x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}

Для точки M (середина AB):

M_x = \frac{-2 + (-1)}{2} = \frac{-3}{2}, \quad M_y = \frac{-2 + 2}{2} = 0

Значит, M \left(-\frac{3}{2}, 0 \right).

Для точки N (середина CD):

N_x = \frac{3 + 6}{2} = 4.5, \quad N_y = \frac{4 + 2}{2} = 3

Значит, N \left(4.5, 3 \right).

Теперь найдём уравнение прямой, проходящей через M \left(-1.5, 0 \right) и N(4.5, 3):

y - 0 = \frac{3 - 0}{4.5 - (-1.5)}(x + 1.5)

Рассчитаем наклон (k):

k = \frac{3 - 0}{4.5 + 1.5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Итак, уравнение средней линии:

y = \frac{1}{2}(x + 1.5)

Получим:

y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}

Итак, уравнение средней линии MN:

y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}

Шаг 4: Нахождение длины высоты AK

Высота в трапеции — это перпендикуляр, опущенный из одной из вершин (например, из вершины A) на основу (в данном случае CD).

Для нахождения длины высоты, сначала найдём уравнение прямой CD, используя ту же формулу для уравнения прямой через две точки (как в предыдущих шагах). Точки C(3, 4) и D(6, 2):

y - 4 = \frac{2 - 4}{6 - 3}(x - 3)

y - 4 = \frac{-2}{3}(x - 3)

Упростим:

y - 4 = \frac{-2}{3}x + 2

y = \frac{-2}{3}x + 6

Теперь найдём расстояние от точки A(-2, -2) до прямой CD: y = \frac{-2}{3}x + 6.

Расстояние от точки (x_1, y_1) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле:

d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Приведём уравнение y = \frac{-2}{3}x + 6 к виду:

\frac{2}{3}x + y - 6 = 0

Здесь:

• A = \frac{-2}{3}, B = 1, C = -6.
• (x_1, y_1) = (-2, -2).

Теперь подставим значения в формулу:

d = \frac{| \frac{-2}{3}(-2) + 1(-2) - 6 |}{\sqrt{\left( \frac{-2}{3} \right)^2 + 1^2}}

d = \frac{| \frac{4}{3} - 2 - 6 |}{\sqrt{\frac{4}{9} + 1}}

d = \frac{| \frac{4}{3} - \frac{27}{3} |}{\sqrt{\frac{13}{9}}}

d = \frac{|\frac{-23}{3}|}{\frac{\sqrt{13}}{3}}

d = \frac{23}{\sqrt{13}} \cdot \frac{3}{3}

d = \frac{23}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{23}{13} \approx 1.77

Итог:

1. Уравнение стороны BC: y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}.
2. Уравнение средней линии MN: y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}.
3. Длина высоты AK: \approx 1.77 единиц.
4. Чертёж можно построить с указанными координатами точек и привести графически.

Таким образом, длина высоты AK — примерно 1.77 единиц.