Найти точку пересечения высот треугольника

Предмет: Геометрия
Раздел: Планиметрия (Аналитическая геометрия)

Задача состоит в нахождении точки пересечения высот треугольника, которая называется ортоцентром. Для этого мы будем использовать аналитические методы.

Дано:

Вершины треугольника:

• [A(2; 2)],
• [B(2; -5)],
• [C(-5; 3)].

Решение:

Высота треугольника — это прямая, проходящая через вершину треугольника и перпендикулярная противоположной стороне. Мы найдем уравнения двух высот и определим их точку пересечения.

Шаг 1. Находим уравнение высоты из вершины [A]

Высота из точки [A(2; 2)] перпендикулярна стороне [BC]. Для этого сначала найдем уравнение прямой [BC].

Сторона [BC] проходит через точки [B(2; -5)] и [C(-5; 3)]. Уравнение прямой можно записать в общем виде:  y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1),  где [x_1, y_1 = (2, -5)] и [x_2, y_2 = (-5, 3)].

Подставим координаты:  y - (-5) = \frac{3 - (-5)}{-5 - 2}(x - 2),   y + 5 = \frac{8}{-7}(x - 2),   y + 5 = -\frac{8}{7}(x - 2). 

Упростим:  y + 5 = -\frac{8}{7}x + \frac{16}{7}.   y = -\frac{8}{7}x + \frac{16}{7} - 5.  Приведем к общему знаменателю:  y = -\frac{8}{7}x - \frac{19}{7}. 

Теперь найдем уравнение высоты из точки [A]. Высота из [A] перпендикулярна [BC], поэтому ее угловой коэффициент будет обратным по знаку и взаимно обратным к угловому коэффициенту [BC]. Для [BC] угловой коэффициент равен [-\frac{8}{7}], значит, для высоты из [A] он равен [\frac{7}{8}].

Уравнение высоты из [A]:  y - y_1 = k(x - x_1),  где [x_1, y_1 = (2, 2)] и [k = \frac{7}{8}].

Подставим:  y - 2 = \frac{7}{8}(x - 2).   y - 2 = \frac{7}{8}x - \frac{14}{8}.   y = \frac{7}{8}x - \frac{7}{4} + 2.  Приведем к общему знаменателю:  y = \frac{7}{8}x + \frac{1}{4}. 

Шаг 2. Находим уравнение высоты из вершины [B]

Высота из точки [B(2; -5)] перпендикулярна стороне [AC]. Найдем уравнение стороны [AC].

Сторона [AC] проходит через точки [A(2; 2)] и [C(-5; 3)]. Уравнение прямой:  y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1),  где [x_1, y_1 = (2, 2)] и [x_2, y_2 = (-5, 3)].

Подставим координаты:  y - 2 = \frac{3 - 2}{-5 - 2}(x - 2),   y - 2 = \frac{1}{-7}(x - 2).   y - 2 = -\frac{1}{7}(x - 2).   y = -\frac{1}{7}x + \frac{2}{7} + 2.  Приведем к общему знаменателю:  y = -\frac{1}{7}x + \frac{16}{7}. 

Теперь найдем уравнение высоты из [B]. Высота из [B] перпендикулярна [AC], поэтому ее угловой коэффициент будет обратным по знаку и взаимно обратным к угловому коэффициенту [AC]. Для [AC] угловой коэффициент равен [-\frac{1}{7}], значит, для высоты из [B] он равен [7].

Уравнение высоты из [B]:  y - y_1 = k(x - x_1),  где [x_1, y_1 = (2, -5)] и [k = 7].

Подставим:  y - (-5) = 7(x - 2).   y + 5 = 7x - 14.   y = 7x - 19. 

Шаг 3. Находим точку пересечения высот

Теперь у нас есть уравнения двух высот:

1. [y = \frac{7}{8}x + \frac{1}{4}] (высота из [A]),
2. [y = 7x - 19] (высота из [B]).

Приравняем их:  \frac{7}{8}x + \frac{1}{4} = 7x - 19.  Умножим на 8, чтобы избавиться от дробей:  7x + 2 = 56x - 152.  Перенесем все члены с [x] влево, а свободные вправо:  7x - 56x = -152 - 2.   -49x = -154.   x = \frac{154}{49} = \frac{14}{7} = 2. 

Теперь подставим [x = 2] в одно из уравнений высот, например, [y = 7x - 19]:  y = 7(2) - 19 = 14 - 19 = -5. 

Ответ:

Точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника имеет координаты:  (2; -5).