Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми

Определение предмета и раздела предмета:

• Предмет: Математика.
• Раздел: Планиметрия (работа с геометрическими фигурами на координатной плоскости) и интегральное исчисление.

Задача:

Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми:

• \( y = x \),
• \( y = -x + 2 \),
• \( y = 0 \) (ось абсцисс).

Для нахождения площади мы определим область пересечения линий и применим интегральный подход.

1. Найдём точки пересечения линий:

1. \( y = x \) и \( y = -x + 2 \):

   \[ x = -x + 2 \implies 2x = 2 \implies x = 1. \]

   Точка пересечения: \( (1, 1) \).

2. \( y = x \) и \( y = 0 \):

   \[ x = 0. \]

   Точка пересечения: \( (0, 0) \).

3. \( y = -x + 2 \) и \( y = 0 \):

   \[ -x + 2 = 0 \implies x = 2. \]

   Точка пересечения: \( (2, 0) \).

2. Графическая интерпретация:

Фигура представляет собой треугольник с вершинами \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), и \( (2, 0) \).

3. Площадь треугольника:

Чтобы найти площадь, можно воспользоваться формулой площади треугольника через координаты вершин:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - y_1 x_2 - y_2 x_3 - y_3 x_1 \right|. \]

Подставим координаты:

• \( (x_1, y_1) = (0, 0) \),
• \( (x_2, y_2) = (1, 1) \),
• \( (x_3, y_3) = (2, 0) \).

Вычислим:

\[ S = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - (0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 - 2 \right| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1. \]

Ответ:

Площадь треугольника равна \( S = 1 \) квадратная единица.