Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, с помощью интегралов по осям координат

Определение предмета и раздела:

Это задание относится к предмету математика, а именно к его разделу интегральное исчисление или планиметрия. В данном случае требуется найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, с помощью интегралов по осям координат, что означает, что у нас интегральное исчисление.

Постановка задачи:

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной следующими уравнениями:

1. \( y = x \),
2. \( y = 9 - x \),
3. \( x = 0 \),
4. \( x = 4 \).

Шаг 1: Понять, как выглядит область.

Нарисуем и проанализируем область, ограничиваемую этими уравнениями:

• \( y = x \) — это прямая, идущая под углом 45 градусов к осям (прямая через начало системы координат с угловым коэффициентом 1).
• \( y = 9 - x \) — это прямая, которая пересекает ось \( y \) в точке \( y = 9 \) и имеет наклон -1.
• \( x = 0 \) — это вертикальная линия, совпадающая с осью Oy.
• \( x = 4 \) — это вертикальная линия, проходящая через точку \( x = 4 \).

Теперь определим точки пересечения прямых:

1. Прямая \( y = x \) пересекается с \( y = 9 - x \) в точке, где \( x = x \), то есть приравниваем правые части уравнений: \[ x = 9 - x, \] \[ 2x = 9, \] \[ x = 4.5. \] Однако, ограничение \( x = 4 \) заставляет пересекаться линии на интервале от 0 до 4.

Шаг 2: Построить общий план решения.

Мы будем искать площадь области между кривыми \( y = x \) и \( y = 9 - x \) на промежутке от \( x = 0 \) до \( x = 4 \).

Шаг 3: Определить формулу для площади через интеграл.

Площадь между двумя кривыми на заданном промежутке \( [a; b] \) вычисляется как разность значений функций:

\[ S = \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right) dx, \]

где \( f(x) \) — верхняя функция (та, которая проходит выше на графике), а \( g(x) \) — нижняя функция.

В нашем случае:

• Верхняя функция: \( f(x) = 9 - x \),
• Нижняя функция: \( g(x) = x \).

Нам нужно найти:

\[ S = \int_0^4 \left( (9 - x) - x \right) dx. \]

Упрощаем выражение под интегралом:

\[ S = \int_0^4 (9 - 2x) dx. \]

Шаг 4: Вычисление интеграла.

Теперь вычислим этот интеграл:

\[ S = \int_0^4 (9 - 2x) dx = \left[ 9x - x^2 \right]_0^4. \]

Подставляем верхний и нижний пределы:

\[ S = \left( 9 \cdot 4 - 4^2 \right) - \left( 9 \cdot 0 - 0^2 \right). \]

Выполняем вычисления:

\[ S = (36 - 16) - (0 - 0) = 20. \]

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x \), \( y = 9 - x \), \( x = 0 \), и \( x = 4 \), равна \( 20 \) квадратных единиц.