Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решить задачу
Предмет: Математика
Раздел: Планиметрия, вычисление площадей криволинейных фигур
Дана фигура, ограниченная кривой
(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 xy.
Нужно найти площадь этой фигуры.
В полярных координатах:
x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi.
Тогда:
x^2 + y^2 = r^2,
а
xy = r^2 \cos \varphi \sin \varphi.
Подставим в уравнение:
(r^2)^2 = 2 a^2 r^2 \cos \varphi \sin \varphi,
то есть
r^4 = 2 a^2 r^2 \cos \varphi \sin \varphi.
Если r \neq 0, то делим обе части на r^2:
r^2 = 2 a^2 \cos \varphi \sin \varphi.
Используем формулу удвоенного угла для синуса:
\sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi,
следовательно
r^2 = a^2 \sin 2\varphi.
Для того чтобы r^2 \geq 0, нужно, чтобы
\sin 2\varphi \geq 0.
Синус положителен на промежутках:
2\varphi \in [0, \pi], то есть
\varphi \in [0, \frac{\pi}{2}].
Площадь фигуры, ограниченной кривой в полярных координатах, вычисляется по формуле:
S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2(\varphi) \, d\varphi.
В нашем случае:
S = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} a^2 \sin 2\varphi \, d\varphi.
Интегрируем:
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\varphi \, d\varphi = \left[-\frac{\cos 2\varphi}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{\cos \pi}{2}\right) - \left(-\frac{\cos 0}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.
Подставляем результат в формулу площади:
S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot 1 = \frac{a^2}{2}.
\boxed{S = \frac{a^2}{2}}.