Найти площадь этой фигуры

Предмет: Математика
Раздел: Планиметрия, вычисление площадей криволинейных фигур

Дана фигура, ограниченная кривой
(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 xy.

Нужно найти площадь этой фигуры.

Шаг 1. Перепишем уравнение в полярных координатах

В полярных координатах:
x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi.

Тогда:
x^2 + y^2 = r^2,
а
xy = r^2 \cos \varphi \sin \varphi.

Подставим в уравнение:
(r^2)^2 = 2 a^2 r^2 \cos \varphi \sin \varphi,
то есть
r^4 = 2 a^2 r^2 \cos \varphi \sin \varphi.

Если r \neq 0, то делим обе части на r^2:
r^2 = 2 a^2 \cos \varphi \sin \varphi.

Используем формулу удвоенного угла для синуса:
\sin 2\varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi,
следовательно
r^2 = a^2 \sin 2\varphi.

Шаг 2. Найдем границы угла \varphi

Для того чтобы r^2 \geq 0, нужно, чтобы
\sin 2\varphi \geq 0.

Синус положителен на промежутках:
2\varphi \in [0, \pi], то есть
\varphi \in [0, \frac{\pi}{2}].

Шаг 3. Формула площади в полярных координатах

Площадь фигуры, ограниченной кривой в полярных координатах, вычисляется по формуле:
S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2(\varphi) \, d\varphi.

В нашем случае:
S = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} a^2 \sin 2\varphi \, d\varphi.

Шаг 4. Вычисление интеграла

Интегрируем:
 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\varphi \, d\varphi = \left[-\frac{\cos 2\varphi}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{\cos \pi}{2}\right) - \left(-\frac{\cos 0}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. 

Шаг 5. Итог

Подставляем результат в формулу площади:
S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot 1 = \frac{a^2}{2}.

Ответ:

\boxed{S = \frac{a^2}{2}}.