Найти: длину отрезка ( AY )

Предмет: Геометрия
Раздел: Планиметрия, треугольники, равенство треугольников, симметрия

Условие задачи:

В треугольнике ( \triangle ABC ) даны:

• Стороны ( AB = BC ) (треугольник равнобедренный),
• На стороне ( BC ) взяты точки ( X ) и ( Y ) так, что:
  • ( X ) лежит между ( B ) и ( Y ),
  • ( AX = BX ),
  • Угол ( \angle BAX = \angle YAX ),
  • ( AX = 4\sqrt{3} ).

Найти: длину отрезка ( AY ).

Шаг 1: Анализ геометрической конфигурации

Нарисуем схему:

1. Треугольник ( ABC ), где ( AB = BC ), значит он равнобедренный.
2. ( X \in [BY] \subset BC ), т.е. ( B - X - Y ) лежат на одной прямой.
3. ( AX = BX ), значит треугольник ( ABX ) — равнобедренный.
4. ( \angle BAX = \angle YAX ) — это возможно, если точка ( Y ) — симметрична точке ( B ) относительно прямой ( AX ).

Это ключевой момент: так как углы ( \angle BAX ) и ( \angle YAX ) равны, и ( AX ) — общая сторона, то ( Y ) — отражение точки ( B ) относительно прямой ( AX ).

Шаг 2: Построение и использование симметрии

Пусть:

• ( AX = BX = 4\sqrt{3} ),
• Угол между ( AB ) и ( AX ) равен углу между ( AY ) и ( AX ),
• Тогда треугольники ( ABX ) и ( AYX ) — равны по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно:

• ( AY = AB ),
• Но ( AB = BC ), а ( BX = AX ), значит треугольник ( ABX ) — равносторонний, если ( \angle BAX = 60^\circ ).

Шаг 3: Точное вычисление

Рассмотрим треугольник ( ABX ):

• ( AX = BX = 4\sqrt{3} ),
• Угол между ними ( \angle BAX = 60^\circ ), так как треугольник равнобедренный и симметричный.

Используем теорему косинусов в треугольнике ( ABX ):

 AB^2 = AX^2 + BX^2 - 2 \cdot AX \cdot BX \cdot \cos(\angle BAX) 

 AB^2 = (4\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot (4\sqrt{3}) \cdot \cos(60^\circ) 

 AB^2 = 48 + 48 - 2 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} = 96 - 48 = 48 

 AB = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} 

Значит, ( AB = AY = 4\sqrt{3} )

✅ Ответ:

AY = 4\sqrt{3}

Если нужно, могу также нарисовать схему.