Найти длину отрезка

Предмет: Геометрия

Раздел: Планиметрия (Четырехугольники, вписанные в окружность)

Условие задачи:

Дан вписанный в окружность четырехугольник (ABCD), где (AB = 7), (BC = 18). Биссектриса угла (CDA) пересекает сторону (BC) в точке (E). Точка (F) лежит на отрезке (DE) и удовлетворяет условию: угол (AED = FCD). Известно, что (BE = 5), (EF = 3). Требуется найти длину отрезка (DE).

Решение:

Шаг 1. Введение обозначений

• Пусть (DE = x). Тогда (DF = x - 3), так как (EF = 3).
• Используем свойство биссектрисы угла (CDA), которая делит сторону (BC) на части пропорционально прилежащим сторонам четырехугольника (ABCD).

Шаг 2. Применение свойства биссектрисы

По свойству биссектрисы: [ \frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AD}. ] Подставим известные значения: [ BE = 5, \quad BC = 18 \implies EC = BC - BE = 18 - 5 = 13. ] Следовательно: [ \frac{5}{13} = \frac{7}{AD}. ] Отсюда найдем (AD): [ AD = \frac{13 \cdot 7}{5} = 18.2. ]

Шаг 3. Условие равенства углов

Угол (AED = FCD) означает, что точки (A, E, F, D) лежат на одной окружности (по теореме о вписанном угле). Поэтому применим теорему о произведении отрезков хорд: [ AE \cdot ED = FE \cdot CD. ]

Шаг 4. Выражение через длины

Пусть (CD = c). Тогда: [ AE = AB + BE = 7 + 5 = 12, ] [ ED = x, \quad FE = 3. ] Подставляем в уравнение: [ 12 \cdot x = 3 \cdot c. ] Отсюда: [ c = \frac{12 \cdot x}{3} = 4x. ]

Шаг 5. Свойство вписанного четырехугольника

Для вписанного четырехугольника справедливо: [ AB \cdot CD = BC \cdot AD. ] Подставляем известные значения: [ 7 \cdot c = 18 \cdot 18.2. ] [ 7 \cdot 4x = 18 \cdot 18.2. ] [ 28x = 327.6 \implies x = \frac{327.6}{28} = 11.7. ]

Ответ:

Длина отрезка (DE) равна (11.7).

Рисунок:

На рисунке ниже показан четырехугольник (ABCD), вписанный в окружность, с отмеченными точками (E) и (F), а также обозначенными длинами отрезков.