Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит отрезку OD

Предмет: Геометрия

Раздел: Планиметрия, вероятность

Дано:

1. Окружность с центром в точке ( O ) и радиусом ( R = 53 ).
2. Хорда ( AB = 56 ).
3. Прямая ( m ) параллельна хорде ( AB ) и касается окружности в точке ( C ).
4. Прямая ( OD ) перпендикулярна ( AB ) и проходит через центр ( O ).
5. ( CD > OC ), где ( C ) — точка касания прямой ( m ) с окружностью.
6. На отрезке ( CD ) случайным образом выбирается точка.

Требуется найти вероятность того, что случайно выбранная точка на отрезке ( CD ) принадлежит отрезку ( OD ).

Шаг 1. Построение и анализ задачи

1.1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Прямая ( m ) касается окружности в точке ( C ), поэтому радиус ( OC ) перпендикулярен ( m ).

1.2. Прямая ( OD ) перпендикулярна хорде ( AB ).

Прямая ( OD ) является перпендикуляром, опущенным из центра ( O ) на хорду ( AB ).

1.3. Связь между радиусом окружности, расстоянием до хорды и длиной хорды.

Расстояние ( h ) от центра ( O ) до хорды ( AB ) можно найти по формуле:
h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2},
где ( R = 53 ), ( AB = 56 ).

Подставим значения:
h = \sqrt{53^2 - \left(\frac{56}{2}\right)^2} = \sqrt{53^2 - 28^2} = \sqrt{2809 - 784} = \sqrt{2025} = 45.

Значит, расстояние от центра ( O ) до хорды ( AB ) равно ( h = 45 ).

1.4. Расстояние от центра ( O ) до касательной ( m ).

Прямая ( m ) параллельна хорде ( AB ), а значит, расстояние от ( O ) до ( m ) равно ( OC ).
Так как прямая ( m ) касается окружности, расстояние ( OC ) равно радиусу:
OC = R = 53.

1.5. Длина отрезка ( CD ).

Поскольку ( CD > OC ), точка ( D ) лежит на продолжении отрезка ( OC ). Пусть длина ( CD = L ).

Шаг 2. Условие принадлежности точки отрезку ( OD )

Точка принадлежит отрезку ( OD ), если её расстояние от точки ( O ) не превышает ( h = 45 ).
Таким образом, точка из ( CD ) принадлежит ( OD ), если она лежит на отрезке ( OC ), длина которого равна ( OC = 53 ).

Шаг 3. Вероятность

Вероятность выбирается как отношение длины отрезка ( OD = OC = 53 ) к длине всего отрезка ( CD = L ):
P = \frac{\text{длина отрезка } OD}{\text{длина отрезка } CD} = \frac{53}{L}.

Так как ( CD > OC ), то ( L > 53 ).

Ответ:

Вероятность того, что случайная точка на отрезке ( CD ) принадлежит отрезку ( OD ), равна
P = \frac{53}{L}, где ( L > 53 ).