Найди площадь фигуры ограниченной линиями

Данное задание относится к школьной математике, а именно к разделу "планиметрия" (геометрия на плоскости) и исчисление. Здесь потребуется вычисление площади фигуры, ограниченной графиками функций. Это задача на определенный интеграл в разделе "интегральное исчисление".

Шаг 1. Построение графиков и анализ фигуры

Нам даны следующие линии:

• \( y = x \) — это прямая, которая проходит через точки \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), \( (2, 2) \) и т. п. У нее угловой коэффициент +1.
• \( y = 7 - x \) — это прямая, которая пересекает ось \( y \) в точке (0, 7) и имеет наклон -1 (она падает).
• \( x = 1 \) и \( x = 3 \) — это вертикальные прямые, ограничивающие нашу фигуру по горизонтали. Фигура ограничена на отрезке по оси \( x \) от \( x = 1 \) до \( x = 3 \).

Шаг 2. Определим точки пересечения линий

Нам нужны точки пересечения кривых \( y = x \) и \( y = 7 - x \). Чтобы найти точку пересечения этих прямых, приравняем их:

\[ x = 7 - x \]

Решив уравнение:

\[ 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2} = 3.5 \]

Точка пересечения — \( x = 3.5 \), но этого нам не нужно. Мы ограничены \( x: [1, 3] \), поэтому эту точку использовать не будем.

Шаг 3. Вычислим площадь между кривыми

Определим, что для каждого значения \( x \) на интервале \[ [1, 3] \], верхней будет прямая \( y = 7 - x \), а нижней — прямая \( y = x \).

Следовательно, площадь между этими двумя кривыми может быть найдена с помощью следующего интеграла:

\[ \text{Площадь} = \int_1^3 ((7 - x) - x) dx \]

Упрощаем подынтегральное выражение:

\[ \text{Площадь} = \int_1^3 (7 - 2x) dx \]

Теперь вычислим интеграл.

Шаг 4. Находим интеграл

Найдем первообразные для каждого элемента подынтегрального выражения:

\[ \int (7 - 2x) dx = 7x - x^2 \]

Теперь подставим пределы интегрирования (от 1 до 3):

\[ \left[ 7x - x^2 \right]_1^3 = (7 \cdot 3 - 3^2) - (7 \cdot 1 - 1^2) \]

Вычислим:

\[ (7 \cdot 3 - 9) - (7 \cdot 1 - 1) = (21 - 9) - (7 - 1) = 12 - 6 = 6 \]

Ответ

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x \), \( y = 7 - x \), \( x = 1 \), и \( x = 3 \), равна 6.