Нахождение угла между высотой и медианой треугольника с известными координатами вершин в пространстве

Предмет: Геометрия (планиметрия и векторная геометрия).

Раздел: Геометрия треугольников, в частности — высоты, медианы и углы между ними. Также применяется векторная алгебра для нахождения углов между векторами. Задание состоит в нахождении угла между высотой и медианой треугольника с известными координатами вершин в пространстве. Для этого воспользуемся векторной алгеброй.

План решения:

1. Найдем уравнение прямой высоты треугольника, проведенной через вершину \( A \) к стороне \( BC \).
2. Найдем уравнение медианы треугольника, проведенной через вершину \( A \) к середине стороны \( BC \).
3. Выразим высоту и медиану как векторы.
4. Найдем угол между этими векторами, используя скалярное произведение.

Шаг 1: Найдем уравнение высоты

Высота треугольника перпендикулярна стороне \( BC \). Чтобы найти вектор высоты, нужно сначала посчитать вектор стороны \( BC \).

Координаты: \[ B(-3; 2; -1), \quad C(2; -2; 0) \]

Вектор \( \overrightarrow{BC} = (2 - (-3); -2 - 2; 0 - (-1)) = (5; -4; 1) \).

Вектор направляющий прямую высоты должен быть перпендикулярен этому вектору. Используем точку \( A(-4, -2, 1) \) для нахождения высоты, проанализируем позже.

Шаг 2: Найдем медиану

Медиана в треугольнике идет от вершины к середине противоположной стороны. Сначала найдем середину стороны \( BC \).

Координаты середины \( M \) стороны \( BC \):

\[ M = \left( \frac{-3 + 2}{2}, \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{-1 + 0}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2}, 0, -\frac{1}{2} \right) \]

Теперь вектор медианы \( \overrightarrow{AM} \):

\[ \overrightarrow{AM} = \left( \frac{-1}{2} - (-4), 0 - (-2), -\frac{1}{2} - 1 \right) = \left( \frac{7}{2}, 2, -\frac{3}{2} \right) \]

Шаг 3: Значения высоты и медианы

Текст markdown отсутствует в вашем сообщении. Пожалуйста, предоставьте конкретный текст с markdown-разметкой, чтобы я смог обработать и преобразовать его в HTML с добавлением необходимых форматов.