Нахождение длин сторон треугольника

Задание относится к планиметрии и аналитической геометрии, так как мы работаем с треугольником и его координатами в пространстве.

Даны три точки \(A(3; -4; -1)\), \(B(4; 8; 2)\), \(C(11; -2; 1)\).

1. Нахождение длин сторон треугольника:

Длина стороны между двумя точками \((x_1; y_1; z_1)\) и \((x_2; y_2; z_2)\) вычисляется по формуле расстояния в пространстве:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Длина стороны \(AB\):

\[ AB = \sqrt{(4 - 3)^2 + (8 - (-4))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 12^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 144 + 9} = \sqrt{154} \] \[ AB \approx 12.41 \]

Длина стороны \(BC\):

\[ BC = \sqrt{(11 - 4)^2 + (-2 - 8)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{7^2 + (-10)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 100 + 1} = \sqrt{150} \] \[ BC \approx 12.25 \]

Длина стороны \(AC\):

\[ AC = \sqrt{(11 - 3)^2 + (-2 - (-4))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{8^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4 + 4} = \sqrt{72} \] \[ AC \approx 8.49 \]

2. Нахождение одного из углов треугольника:

Воспользуемся формулой косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos{\theta} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|} \]

Сначала найдем координаты векторов \(AB\) и \(AC\):

\[ \vec{AB} = B - A = (4 - 3; 8 - (-4); 2 - (-1)) = (1; 12; 3) \] \[ \vec{AC} = C - A = (11 - 3; -2 - (-4); 1 - (-1)) = (8; 2; 2) \]

Теперь находим скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\):

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 8 + 12 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 8 + 24 + 6 = 38 \]

Модули векторов \(AB\) и \(AC\) мы уже нашли ранее:

\[ |AB| = \sqrt{154}, \quad |AC| = \sqrt{72} \]

Теперь подставляем в формулу косинуса:

\[ \cos{\theta} = \frac{38}{\sqrt{154} \cdot \sqrt{72}} \approx \frac{38}{104.85} \approx 0.3624 \]

Теперь находим угол \( \theta \):

\[ \theta \approx \arccos(0.3624) \approx 68.7^\circ \]

3. Нахождение площади треугольника:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| \]

Для этого нужно вычислить векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\). Сначала составим векторное произведение:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 12 & 3 \\ 8 & 2 & 2 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 12 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 12 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} \]

Вычисляем определители:

\[ \begin{vmatrix} 12 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (12 \cdot 2) - (3 \cdot 2) = 24 - 6 = 18 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (3 \cdot 8) = 2 - 24 = -22 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 12 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (12 \cdot 8) = 2 - 96 = -94 \]

Теперь:

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = (18; 22; -94) \]

Находим длину получившегося вектора:

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{18^2 + (-22)^2 + (-94)^2} = \sqrt{324 + 484 + 8836} = \sqrt{9644} \] \[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| \approx 98.2 \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 98.2 \approx 49.1 \]

Ответы:

• Длины сторон:
  • \(AB \approx 12.41\)
  • \(BC \approx 12.25\)
  • \(AC \approx 8.49\)
• Угол при вершине \(A\) ≈ \(68.7^\circ\).
• Площадь треугольника \(S \approx 49.1\).

Теперь находим площадь треугольника: