Даны вершины треугольника A(-3;2) B (1;-2) C (3;3) длину высоты опущенной из вершины C

Предмет: Геометрия Раздел: Планиметрия — нахождение высот и расстояний в треугольниках.

Задача: Найти длину высоты, опущенной из вершины \( C(3; 3) \) треугольника с вершинами \( A(-3; 2) \), \( B(1; -2) \), \( C(3; 3) \).

Решение:

Высота в треугольнике — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. В данном случае нам нужно найти длину высоты, проведённой из вершины \( C(3, 3) \) на прямую \( AB \).

Шаг 1: Найдём уравнение прямой \( AB \).

Прямая \( AB \) проходит через точки \( A(-3, 2) \) и \( B(1, -2) \). Уравнение прямой можно найти, используя каноническое уравнение вида:

\[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]

Где точки \( A \) и \( B \) имеют координаты:

• \( A(-3, 2) \)
• \( B(1, -2) \)

Подставляем их в уравнение:

\[ \frac{y - 2}{-2 - 2} = \frac{x + 3}{1 + 3} \]

Простыми вычислениями получаем:

\[ \frac{y - 2}{-4} = \frac{x + 3}{4} \]

Затем перемножим крест-накрест и преобразуем:

\[ 4(y - 2) = -4(x + 3) \]

Раскрываем скобки:

\[ 4y - 8 = -4x - 12 \]

Приведём подобные:

\[ 4x + 4y = -4 \]

Или, разделив на 4:

\[ x + y = -1 \]

Это уравнение прямой \( AB \).

Шаг 2: Найдём расстояние от точки \( C(3, 3) \) до прямой \( AB \).

Формула для нахождения расстояния от точки \( C(x_0, y_0) \) до прямой вида \( Ax + By + C = 0 \) задаётся формулой:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Прямая имеет вид \( x + y + 1 = 0 \), где:

• \( A = 1 \),
• \( B = 1 \),
• \( C = 1 \).

Координаты точки \( C(3, 3) \) — это \( x_0 = 3 \), \( y_0 = 3 \). Теперь подставляем значения в формулу для расстояния:

\[ d = \frac{|1 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|7|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \]

\[ d = \frac{7\sqrt{2}}{2} \]

Ответ: Длина высоты, опущенной из вершины \( C \) на сторону \( AB \), равна \( \frac{7\sqrt{2}}{2} \) (единиц длины).

Для упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе: