Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Условие:

Решить систему дифференциальных уравнений при начальных условиях

Решение:

Данный вопрос относится к предмету высшей математики, а именно к разделу "дифференциальные уравнения", подразделу "системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)". Чтобы решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: \[ \begin{cases} \dot{x}(t) = -3x(t) + 4y(t), & x(0) = 1 \\ \dot{y}(t) = 4x(t) + 3y(t), & y(0) = 1 \end{cases} \] 1. **Запишем матричное представление системы:** \[ \mathbf{\dot{X}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{X}(t), \] где \[ \mathbf{X}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{\dot{X}}(t) = \begin{pmatrix} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \end{pmatrix}, \quad \text{и} \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}. \] 2. **Поиск характеристических чисел (собственных значений) матрицы \( \mathbf{A} \):** Собственные значения матрицы \( \mathbf{A} \) находятся из уравнения \( \text{det}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0 \), где \(\mathbf{I}\) — единичная матрица. \[ \text{det} \begin{vmatrix} -3 - \lambda & 4 \\ 4 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = 0. \] Вычислим детерминант: \[ (-3 - \lambda)(3 - \lambda) - (4 \cdot 4) = \lambda^2 - 9 - 16 = \lambda^2 - 25 = 0. \] Решая уравнение, получим: \[ \lambda^2 - 25 = 0 \implies \lambda = \pm 5. \] 3. **Поиск собственных векторов матрицы \( \mathbf{A} \):** Для \(\lambda = 5\): \[ \mathbf{A} - 5\mathbf{I} = \begin{pmatrix} -8 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}. \] Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} -8x + 4y = 0,\\ 4x - 2y = 0. \end{cases} \] Эта система эквивалентна: \[ 4y = 8x \implies y = 2x. \] Выберем \( x = 1 \), тогда \( y = 2(1) = 2 \). Получаем собственный вектор \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \). Для \(\lambda = -5\): \[ \mathbf{A} + 5\mathbf{I} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}. \] Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x + 4y = 0,\\ 4x + 8y = 0. \end{cases} \] Эта система эквивалентна: \[ 4y = -2x \implies y = -\frac{1}{2} x. \] Выберем \( x = 1 \), тогда \( y = -\frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2} \). Получаем собственный вектор \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \). 4. **Общее решение:** Общее решение системы имеет вид: \[ \mathbf{X}(t) = c_1 e^{5t} \mathbf{v}_1 + c_2 e^{-5t} \mathbf{v}_2, \] где \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \), \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \). Подставим выражения для \( \mathbf{v}_1 \) и \( \mathbf{v}_2 \): \[ \mathbf{X}(t) = c_1 e^{5t} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 e^{-5t} \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}. \] Это система двух уравнений: \[ \begin{cases} x(t) = c_1 e^{5t} + c_2 e^{-5t}, \\ y(t) = 2c_1 e^{5t} - \frac{1}{2} c_2 e^{-5t}. \end{cases} \] 5. **Используем начальные условия \( x(0) = 1 \) и \( y(0) = 1 \):** \[ \begin{cases} x(0) = 1 \implies c_1 + c_2 = 1, \\ y(0) = 1 \implies 2c_1 - \frac{1}{2} c_2 = 1. \end{cases} \] Решим эту систему: \[ \begin{cases} c_1 + c_2 = 1, \\ 4c_1 - c_2 = 2. \end{cases} \] Сложим оба уравнения: \[ 5c_1 = 3 \implies c_1 = \frac{3}{5}. \] Подставим \( c_1 \) в первое уравнение: \[ \frac{3}{5} + c_2 = 1 \implies c_2 = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}. \] Получаем \( c_1 = \frac{3}{5} \) и \( c_2 = \frac{2}{5} \). 6. **Запишем окончательное решение:** \[ \begin{cases} x(t) = \frac{3}{5} e^{5t} + \frac{2}{5} e^{-5t}, \\ y(t) = \frac{6}{5} e^{5t} - \frac{1}{5} e^{-5t}. \end{cases} \] Таким образом, решение системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях имеет вид: \[ \begin{cases} x(t) = \frac{3}{5} e^{5t} + \frac{2}{5} e^{-5t}, \\ y(t) = \frac{6}{5} e^{5t} - \frac{1}{5} e^{-5t}. \end{cases} \]