С помощью теоремы об интегрировании оригинала и, зная изображение функции f (t) = 1, найти изображение функции e^t.

Условие:

С помощью теоремы об интегрировании оригинала и, зная изображение функции f (t) = 1, найти изображение функции e^t.

Решение:

Предмет: Математика

Раздел: Теория функций комплексного переменного (операционное исчисление)

Для решения задачи используется теорема об интегрировании оригинала в рамках преобразования Лапласа.

Теорема об интегрировании оригинала

Если функция [f(t)] имеет изображение [F(s)] (то есть [\mathcal{L}{f(t)} = F(s)]), то для функции [e^{at} f(t)] изображение имеет вид:

 \mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s-a), 

где [a] — произвольная константа.


Дано:

  1. Оригинал [f(t) = 1] имеет изображение [F(s) = \frac{1}{s}], то есть:  \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}. 

  2. Требуется найти изображение функции [e^t].


Применение теоремы

В данном случае [f(t) = 1], а [e^t] можно представить как [e^{1 \cdot t} \cdot 1]. То есть [a = 1].

Применяем теорему об интегрировании оригинала:  \mathcal{L}\{e^t\} = \mathcal{L}\{e^{1 \cdot t} \cdot 1\} = F(s - 1). 

Так как [F(s) = \frac{1}{s}], то подставляем [s - 1] вместо [s]:  F(s - 1) = \frac{1}{s - 1}. 


Ответ:

Изображение функции [e^t] равно:  \mathcal{L}\{e^t\} = \frac{1}{s - 1}. 

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн