Решить систему дифференциальных уравнений при начальных условиях

Условие:

Решить систему дифференциальных уравнений при начальных условиях

Решение:

Это задание по предмету "Математика", раздел "Дифференциальные уравнения", а именно решение систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Данная система дифференциальных уравнений имеет вид: \[ \begin{cases} x'(t) - 3x(t) + 4y(t) = 0,\\ y'(t) + 3y(t) = 4x(t). \end{cases} \] И начальные условия \( x(0) = 1 \) и \( y(0) = 1 \). Решим эту систему методом Эйлера: 1. Перепишем систему в матричном виде: \( \mathbf{X}' = A \mathbf{X} \), где \(\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}\) и \( A = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \). 2. Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы \(A\). Чтобы найти собственные значения, решим характеристическое уравнение \(\det(A - \lambda I) = 0\): \[ \begin{vmatrix} 3 - \lambda & -4 \\ 4 & -3 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \] Рассчитаем: \[ (3 - \lambda)(-3 - \lambda) - (-4)(4) = \lambda^2 - 9 + 16 = \lambda^2 + 9 = 0 \] Собственные значения: \[ \lambda = \pm 3i \] Найдём собственные векторы: Для \(\lambda = 3i\): \[ \begin{pmatrix} 3 - 3i & -4 \\ 4 & -3 - 3i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \mathbf{0} \] Решая это уравнение, найдем вектор \( \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -0.75 + 1i \end{pmatrix} \). Для \(\lambda = -3i\): \[ \begin{pmatrix} 3 + 3i & -4 \\ 4 & -3 + 3i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \mathbf{0} \] Решая это уравнение, найдем вектор \( \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -0.75 - 1i \end{pmatrix} \). Фундаментальная матрица: \(\Phi(t) = e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}\), где D - диагональная матрица с элементами \(3i,\ -3i\), а P содержит собственные векторы. Общее решение: \[ x(t) = c_1 \cos(3t) + c_2 \sin(3t) \] \[ y(t) = c_1(-\frac{3}{4} \cos(3t) + \frac{4}{3}\sin(3t) ) + c_2 (-\frac{3}{4} \sin(3t) - \frac{4}{3}\cos(3t) ) \] Используя начальные условия: В 1 рассматриваем систему для \( t = 0 \): \[ c_1 = 1, \ \ c_2 = 1 \] Итогов решение: \[ x(t) = \cos (3t) + \sin (3t) \] \[ y(t) = \frac{-3 \cos (3t) + 4 \sin(3t ) -\sin(3t) -4 \cos} \]