Найти оригинал, то есть разложить функцию на простейшие дроби

Предмет: Математика
Раздел: Дробно-рациональные функции

Дана дробно-рациональная функция:

F(p) = \frac{-p + 14}{(p - 2)(p + 1)}.

Необходимо найти оригинал, то есть разложить функцию на простейшие дроби. Для этого воспользуемся методом разложения на простейшие дроби.

Шаг 1: Представление функции

Запишем данную функцию в виде суммы двух дробей:

\frac{-p + 14}{(p - 2)(p + 1)} = \frac{A}{p - 2} + \frac{B}{p + 1},

где A и B — неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Приведем правую часть к общему знаменателю:

\frac{A}{p - 2} + \frac{B}{p + 1} = \frac{A(p + 1) + B(p - 2)}{(p - 2)(p + 1)}.

Приравниваем числители:

-p + 14 = A(p + 1) + B(p - 2).

Шаг 3: Раскрытие скобок

Раскроем скобки в правой части:

-p + 14 = A \cdot p + A + B \cdot p - 2B.

Объединяем члены с p и свободные члены:

-p + 14 = (A + B)p + (A - 2B).

Шаг 4: Сравнение коэффициентов

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях p и свободные члены:

1. Коэффициент при p:
   A + B = -1.

2. Свободный член:
   A - 2B = 14.

Шаг 5: Решение системы уравнений

Решим систему уравнений:

1. A + B = -1,
2. A - 2B = 14.

Из первого уравнения выразим A:

A = -1 - B.

Подставим это выражение во второе уравнение:

(-1 - B) - 2B = 14.

Упростим:

-1 - 3B = 14,
-3B = 15,
B = -5.

Теперь найдем A:

A = -1 - B = -1 - (-5) = 4.

Шаг 6: Окончательное разложение

Подставляем найденные значения A и B в разложение:

\frac{-p + 14}{(p - 2)(p + 1)} = \frac{4}{p - 2} - \frac{5}{p + 1}.

Ответ:

F(p) = \frac{4}{p - 2} - \frac{5}{p + 1}.