Найти оригинал, то есть первообразную этой функции (интеграл)

Предмет: Математика
Раздел: Дробно-рациональные функции

Задано выражение для функции F(p). Требуется найти оригинал, то есть первообразную этой функции (интеграл).

Функция дана в виде:
F(p) = \frac{-p + 14}{(p-2)(p+1)}.

Для нахождения первообразной разложим дробь на простейшие слагаемые методом разложения на простые дроби.

Шаг 1. Разложение на простые дроби

Разложим дробь \frac{-p + 14}{(p-2)(p+1)} на сумму двух дробей вида:
\frac{-p + 14}{(p-2)(p+1)} = \frac{A}{p-2} + \frac{B}{p+1},
где A и B — коэффициенты, которые нужно найти.

Приведём правую часть к общему знаменателю:
\frac{A}{p-2} + \frac{B}{p+1} = \frac{A(p+1) + B(p-2)}{(p-2)(p+1)}.

Приравняем числители:
-p + 14 = A(p+1) + B(p-2).

Раскроем скобки:
-p + 14 = Ap + A + Bp - 2B.

Сгруппируем члены:
-p + 14 = (A + B)p + (A - 2B).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях p:

1. При p: A + B = -1.
2. При свободном члене: A - 2B = 14.

Шаг 2. Решение системы уравнений

Система уравнений:
\begin{cases} A + B = -1, \ A - 2B = 14. \end{cases}

Из первого уравнения выразим A:
A = -1 - B.

Подставим это во второе уравнение:
-1 - B - 2B = 14.

-1 - 3B = 14.

-3B = 15.

B = -5.

Подставим B = -5 в выражение для A:
A = -1 - (-5) = 4.

Итак, A = 4, B = -5.

Шаг 3. Разложение дроби

Подставим найденные значения A и B:
\frac{-p + 14}{(p-2)(p+1)} = \frac{4}{p-2} - \frac{5}{p+1}.

Шаг 4. Нахождение первообразной

Теперь найдём интеграл функции:
\int F(p) \, dp = \int \left( \frac{4}{p-2} - \frac{5}{p+1} \right) dp.

Интегрируем каждое слагаемое:

1. \int \frac{4}{p-2} \, dp = 4 \ln|p-2|.
2. \int \frac{5}{p+1} \, dp = 5 \ln|p+1|.

Итак, первообразная:
\int F(p) \, dp = 4 \ln|p-2| - 5 \ln|p+1| + C,
где C — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ:
\int F(p) \, dp = 4 \ln|p-2| - 5 \ln|p+1| + C.