Найти оригинал изображения, используя теорему умножения

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Используем теорему умножения для преобразования Лапласа.
Эта теорема утверждает, что свёртке во временной области соответствует произведение изображений в операторной области:

 \mathcal{L}^{-1} \{ F_1(p) \cdot F_2(p) \} = f_1(t) * f_2(t) = \int_0^t f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tau. 

Шаг 1: Найдём оригиналы функций

Рассмотрим обратное преобразование Лапласа для данных функций:

1. F_1(p) = \frac{1}{p^2}
   Это известное преобразование Лапласа:
   \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{p^2} \right\} = t.

2. F_2(p) = \frac{3}{p^2 + 9}
   Это стандартное преобразование Лапласа для функции вида
   \frac{A}{p^2 + \omega^2},
   где A = 3 и \omega^2 = 9 \Rightarrow \omega = 3.
   Известно, что
   \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{\omega}{p^2 + \omega^2} \right\} = \sin(\omega t).
   Тогда
   \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{3}{p^2 + 9} \right\} = \sin(3t).

Шаг 2: Вычислим свёртку

Теперь вычислим свёртку функций f_1(t) = t и f_2(t) = \sin(3t):

 f(t) = (t * \sin(3t)) = \int_0^t \tau \sin(3(t - \tau)) d\tau. 

Используем замену  u = t - \tau \Rightarrow du = -d\tau:

 f(t) = \int_0^t (t - u) \sin(3u) du. 

Раскрываем скобки:

 f(t) = t \int_0^t \sin(3u) du - \int_0^t u \sin(3u) du. 

Первый интеграл:

 \int \sin(3u) du = -\frac{1}{3} \cos(3u). 

Подставляем пределы:

 \int_0^t \sin(3u) du = -\frac{1}{3} (\cos(3t) - 1) = \frac{1 - \cos(3t)}{3}. 

Следовательно,

 t \int_0^t \sin(3u) du = t \cdot \frac{1 - \cos(3t)}{3} = \frac{t(1 - \cos(3t))}{3}. 

Второй интеграл решается по частям, используя:

 \int u \sin(3u) du = -\frac{u}{3} \cos(3u) + \frac{1}{3} \int \cos(3u) du. 

Вычисляем интеграл:

 \int \cos(3u) du = \frac{1}{3} \sin(3u). 

Подставляем:

 \int_0^t u \sin(3u) du = -\frac{t}{3} \cos(3t) + \frac{1}{9} \sin(3t) - \left( -\frac{0}{3} \cos(0) + \frac{1}{9} \sin(0) \right). 

Так как \sin(0) = 0 и \cos(0) = 1, то:

 \int_0^t u \sin(3u) du = -\frac{t}{3} \cos(3t) + \frac{1}{9} \sin(3t). 

Подставляем в выражение для f(t):

 f(t) = \frac{t(1 - \cos(3t))}{3} + \frac{t}{3} \cos(3t) - \frac{1}{9} \sin(3t). 

Упрощаем:

 f(t) = \frac{t}{3} - \frac{1}{9} \sin(3t). 

Ответ:

Оригинал функции F_1(p) \cdot F_2(p) во временной области:

 f(t) = \frac{t}{3} - \frac{1}{9} \sin(3t).