Найти оригинал функции Лапласа

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (Обратное преобразование Лапласа)

Задание:

Найти оригинал функции Лапласа:

F(p) = \frac{p - 3}{(p + 1)^3}

Решение:

Нам нужно найти оригинал функции Лапласа, то есть функцию f(t), такую что:

\mathcal{L}\{f(t)\} = F(p) = \frac{p - 3}{(p + 1)^3}

Разложим дробь на сумму более простых дробей, для которых известны оригиналы.
Представим:

\frac{p - 3}{(p + 1)^3} = \frac{A}{(p + 1)} + \frac{B}{(p + 1)^2} + \frac{C}{(p + 1)^3}

Умножим обе части на (p + 1)^3:

p - 3 = A(p + 1)^2 + B(p + 1) + C

Раскроем скобки:

(p + 1)^2 = p^2 + 2p + 1

Подставим:

p - 3 = A(p^2 + 2p + 1) + B(p + 1) + C

Раскроем всё:

p - 3 = A p^2 + 2A p + A + B p + B + C

Сгруппируем по степеням:

p - 3 = A p^2 + (2A + B)p + (A + B + C)

Теперь приравниваем коэффициенты слева и справа:

• При p^2: A = 0
• При p: 2A + B = 1
• При свободном члене: A + B + C = -3

Подставим A = 0:

• B = 1
• 0 + 1 + C = -3 \Rightarrow C = -4

Итак, разложение:

\frac{p - 3}{(p + 1)^3} = \frac{1}{(p + 1)^2} - \frac{4}{(p + 1)^3}

Теперь воспользуемся таблицей преобразований Лапласа:

• \mathcal{L}\{t e^{-a t}\} = \frac{1}{(p + a)^2}
• \mathcal{L}\{t^2 e^{-a t}\} = \frac{2}{(p + a)^3}

Следовательно:

• \frac{1}{(p + 1)^2} \Rightarrow t e^{-t}
• \frac{4}{(p + 1)^3} = 2 \cdot \frac{2}{(p + 1)^3} \Rightarrow 2 t^2 e^{-t}

Ответ:

f(t) = t e^{-t} - 2 t^2 e^{-t}