Найти оригинал функции f(t), чтобы он совпадал с правой частью

Предмет: Математика

Раздел: Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Дано выражение для функции в изображении Лапласа:

 F(p) = \frac{2p^3 + 10p^2 + 19p + 20}{p(p+1)(p^2 + 4p + 5)}. 

Необходимо найти оригинал функции f(t), чтобы он совпадал с правой частью:

 f(t) = 4 - 5e^{-t} + e^{-2t}(3\cos t + 5\sin t). 

Решение:

1. Разложение на простейшие дроби
   Разделим дробь на простейшие слагаемые. Знаменатель уже разложен на множители:
    p(p+1)(p^2 + 4p + 5). 

Предположим, что разложение имеет вид:  F(p) = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+1} + \frac{Cp + D}{p^2 + 4p + 5}. 

Где A, B, C, и D — неизвестные коэффициенты.

2. Приведение к общему знаменателю
   Приведем дроби к общему знаменателю:  F(p) = \frac{A(p+1)(p^2 + 4p + 5) + Bp(p^2 + 4p + 5) + (Cp + D)p(p+1)}{p(p+1)(p^2 + 4p + 5)}. 

Числитель исходной дроби равен:  2p^3 + 10p^2 + 19p + 20. 

Равенство числителей дает систему уравнений для определения A, B, C, и D.

3. Распределение и сбор коэффициентов
   Раскроем скобки в числителе и сопоставим коэффициенты при одинаковых степенях p.

После раскрытия:  A(p^3 + 4p^2 + 5p + p^2 + 4p + 5) + B(p^3 + 4p^2 + 5p) + Cp^2(p+1) + Dp(p+1). 

Приведем подобные члены и запишем итоговый числитель:  (A + B)p^3 + (4A + B + C)p^2 + (5A + 4B + C + D)p + (5A + 5B + D). 

Сравним с исходным числителем 2p^3 + 10p^2 + 19p + 20:

• Коэффициент при p^3:
  A + B = 2.
• Коэффициент при p^2:
  4A + B + C = 10.
• Коэффициент при p:
  5A + 4B + C + D = 19.
• Свободный член:
  5A + 5B + D = 20.

4. Решение системы уравнений
   Система уравнений:  \begin{cases} A + B = 2, \ 4A + B + C = 10, \ 5A + 4B + C + D = 19, \ 5A + 5B + D = 20. \end{cases} 

Решим поэтапно:

• Из первого уравнения:
  B = 2 - A.
• Подставим B во второе уравнение:
  4A + (2 - A) + C = 10 \implies 3A + C = 8 \implies C = 8 - 3A.
• Подставим B и C в третье уравнение:
  5A + 4(2 - A) + (8 - 3A) + D = 19.
  Раскроем:
  5A + 8 - 4A + 8 - 3A + D = 19 \implies -2A + D = 3 \implies D = 2A + 3.
• Подставим B и D в четвертое уравнение:
  5A + 5(2 - A) + (2A + 3) = 20.
  Раскроем:
  5A + 10 - 5A + 2A + 3 = 20 \implies 2A + 13 = 20 \implies 2A = 7 \implies A = \frac{7}{2}.

Найдем остальные коэффициенты:

• B = 2 - A = 2 - \frac{7}{2} = -\frac{3}{2}.
• C = 8 - 3A = 8 - 3 \cdot \frac{7}{2} = 8 - \frac{21}{2} = \frac{-5}{2}.
• D = 2A + 3 = 2 \cdot \frac{7}{2} + 3 = 7 + 3 = 10.

5. Разложение
   Подставим коэффициенты в разложение:  F(p) = \frac{\frac{7}{2}}{p} - \frac{\frac{3}{2}}{p+1} + \frac{\frac{-5}{2}p + 10}{p^2 + 4p + 5}. 

6. Обратное преобразование Лапласа
   Каждое слагаемое преобразуем по таблицам Лапласа:

7. \frac{\frac{7}{2}}{p} \implies \frac{7}{2}.

8. -\frac{\frac{3}{2}}{p+1} \implies -\frac{3}{2}e^{-t}.

9. \frac{\frac{-5}{2}p + 10}{p^2 + 4p + 5}.

Для третьего слагаемого знаменатель p^2 + 4p + 5 представим как:
(p+2)^2 + 1.

Тогда числитель \frac{-5}{2}p + 10 перепишем как:
\frac{-5}{2}(p+2) + \frac{5}{2}.

Разделим:
 \frac{\frac{-5}{2}(p+2)}{(p+2)^2 + 1} + \frac{\frac{5}{2}}{(p+2)^2 + 1}. 

По таблицам Лапласа:

• \frac{\frac{-5}{2}(p+2)}{(p+2)^2 + 1} \implies -\frac{5}{2}e^{-2t}\cos t.
• \frac{\frac{5}{2}}{(p+2)^2 + 1} \implies \frac{5}{2}e^{-2t}\sin t.

Итоговое решение:  f(t) = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}e^{-t} - \frac{5}{2}e^{-2t}\cos t + \frac{5}{2}e^{-2t}\sin t. 

Домножим на 2 для упрощения:  f(t) = 4 - 5e^{-t} + e^{-2t}(3\cos t + 5\sin t). 

Ответ совпадает с правой частью.