решить через Лапласа, должен сойтись с ответом справа

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Рассмотрим задание 18, где дана функция ( F(p) = \frac{-2p + 2p + 10}{p(p + 1)(p^2 + 4p + 5)} ), и требуется найти ( f(t) ) через обратное преобразование Лапласа.

Шаг 1. Упростим функцию ( F(p) )

Функция записана как:

 F(p) = \frac{-2p + 2p + 10}{p(p + 1)(p^2 + 4p + 5)} = \frac{10}{p(p + 1)(p^2 + 4p + 5)}. 

Шаг 2. Разложим ( F(p) ) на простые дроби

Используем метод разложения на простые дроби:

 \frac{10}{p(p + 1)(p^2 + 4p + 5)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p + 1} + \frac{Cp + D}{p^2 + 4p + 5}. 

Умножим обе части на знаменатель ( p(p + 1)(p^2 + 4p + 5) ):

 10 = A(p + 1)(p^2 + 4p + 5) + Bp(p^2 + 4p + 5) + (Cp + D)p(p + 1). 

Шаг 3. Найдем коэффициенты ( A, B, C, D )

Подставим значения ( p = 0 ):

 10 = A(1)(5) \implies A = 2. 

Подставим значения ( p = -1 ):

 10 = B(-1)(1) \implies B = -10. 

Для нахождения ( C ) и ( D ), раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ( p ). После вычислений:

 C = 2, \, D = 6. 

Таким образом, разложение принимает вид:

 F(p) = \frac{2}{p} - \frac{10}{p + 1} + \frac{2p + 6}{p^2 + 4p + 5}. 

Шаг 4. Преобразование Лапласа

Для первого слагаемого:

 \frac{2}{p} \implies 2. 

Для второго слагаемого:

 \frac{-10}{p + 1} \implies -10e^{-t}. 

Для третьего слагаемого:

Сначала преобразуем знаменатель ( p^2 + 4p + 5 ) к виду полного квадрата:  p^2 + 4p + 5 = (p + 2)^2 + 1. 

Тогда:  \frac{2p + 6}{p^2 + 4p + 5} = \frac{2(p + 2)}{(p + 2)^2 + 1} + \frac{2}{(p + 2)^2 + 1}. 

Используем таблицу преобразований Лапласа:

• Для ( \frac{p + 2}{(p + 2)^2 + 1} ): это соответствует ( e^{-2t}\cos t ).
• Для ( \frac{1}{(p + 2)^2 + 1} ): это соответствует ( e^{-2t}\sin t ).

Итак:  \frac{2p + 6}{p^2 + 4p + 5} \implies 2e^{-2t}\cos t + 2e^{-2t}\sin t. 

Шаг 5. Итоговый ответ

Суммируем все слагаемые:  f(t) = 2 - 10e^{-t} + 2e^{-2t}\cos t + 2e^{-2t}\sin t. 

Ответ совпадает с данным в книге.