Найти оригинал функции

Условие:

Найти оригинал по изображению

Решение:

Данный пример относится к предмету математики, разделу алгебры, теме рациональные функции. Необходимо найти оригинал функции \( \overline{f(p)} \). Рассмотрим данную функцию: \[ \overline{f(p)} = \frac{3p^2 + 4p - 7}{p (p + 1)(p^2 + 1)} \] Цель - представить эту функцию в виде суммы более простых дробей методом разложения в элементарные дроби. Итак, начнем: 1. Сначала мы делаем предположение о структуре разложения: \[ \overline{f(p)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+1} + \frac{Cp+D}{p^2+1} \] 2. Приводим каждый член дроби к общему знаменателю \( p(p+1)(p^2+1) \): \[ \frac{A(p+1)(p^2+1) + Bp(p^2+1) + (Cp+D)p(p+1)}{p(p+1)(p^2+1)} \] 3. Сравниваем эту дробь с исходной функцией: \[ A(p+1)(p^2+1) + Bp(p^2+1) + (Cp+D)p(p+1) = 3p^2 + 4p - 7 \] 4. Раскроем скобки и соберем коэффициенты при одинаковых степенях п: \[ A(p^3 + p + p^2 + 1) + B(p^3 + p) + (Cp^2 + Cp + Dp + D) = 3p^2 + 4p - 7 \] Разделим полученное уравнение на части, чтобы отделить коэффициенты при одинаковых степенях: \[ Ap^3 + Ap + Ap^2 + A + Bp^3 + Bp + Cp^3 + Cp + Dp^2 + Dp = 3p^2 + 4p - 7 \] \[ (A + B + C)p^3 + (A + C + D)p^2 + (A + B + D)p + A = 3p^2 + 4p - 7 \] 5. Сравним коэффициенты при обеих частях уравнения: Для \( p^3 \): \[ A + B + C = 0 \] Для \( p^2 \): \[ A + C + D = 3 \] Для \( p \): \[ A + B + D = 4 \] Для свободного члена: \[ A = -7 \] Теперь подставляем \( A = -7 \) в остальные уравнения и решаем систему: 1. \(-7 + B + C = 0 \Rightarrow B + C = 7\) 2. \(-7 + C + D = 3 \Rightarrow C + D = 10\) 3. \(-7 + B + D = 4 \Rightarrow B + D = 11\) Решим эту систему: 1. \( C = 10 - D \) 2. \( B = 11 - D \) 3. Подставляем \( C \) и \( B \) в \( B + C = 7 \): \[ 11 - D + 10 - D = 7 \Rightarrow 21 - 2D = 7 \Rightarrow 2D = 14 \Rightarrow D = 7 \] 4. Теперь найдем \( C \) и \( B \): \[ C = 10 - 7 = 3 \] \[ B = 11 - 7 = 4 \] Итак, получили: \( A = -7, B = 4, C = 3, D = 7 \) Теперь запишем оригинал функции: \[ \overline{f(p)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+1} + \frac{Cp+D}{p^2+1} = \frac{-7}{p} + \frac{4}{p+1} + \frac{3p+7}{p^2+1} \] Таким образом, мы нашли оригинал функции.