Найти оригинал функции

Данный пример относится к предмету математики, разделу алгебры, теме рациональные функции. Необходимо найти оригинал функции \( \overline{f(p)} \).

Рассмотрим данную функцию: \[ \overline{f(p)} = \frac{3p^2 + 4p - 7}{p (p + 1)(p^2 + 1)} \] Цель - представить эту функцию в виде суммы более простых дробей методом разложения в элементарные дроби. Итак, начнем:

1. Сначала мы делаем предположение о структуре разложения: \[ \overline{f(p)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+1} + \frac{Cp+D}{p^2+1} \]
2. Приводим каждый член дроби к общему знаменателю \( p(p+1)(p^2+1) \): \[ \frac{A(p+1)(p^2+1) + Bp(p^2+1) + (Cp+D)p(p+1)}{p(p+1)(p^2+1)} \]
3. Сравниваем эту дробь с исходной функцией: \[ A(p+1)(p^2+1) + Bp(p^2+1) + (Cp+D)p(p+1) = 3p^2 + 4p - 7 \]
4. Раскроем скобки и соберем коэффициенты при одинаковых степенях п: \[ A(p^3 + p + p^2 + 1) + B(p^3 + p) + (Cp^2 + Cp + Dp + D) = 3p^2 + 4p - 7 \]
5. Разделим полученное уравнение на части, чтобы отделить коэффициенты при одинаковых степенях: \[ Ap^3 + Ap + Ap^2 + A + Bp^3 + Bp + Cp^3 + Cp + Dp^2 + Dp = 3p^2 + 4p - 7 \]

\[ (A + B + C)p^3 + (A + C + D)p^2 + (A + B + D)p + A = 3p^2 + 4p - 7 \]

5. Сравним коэффициенты при обеих частях уравнения:

• Для \( p^3 \): \[ A + B + C = 0 \]
• Для \( p^2 \): \[ A + C + D = 3 \]
• Для \( p \): \[ A + B + D = 4 \]
• Для свободного члена: \[ A = -7 \]

Теперь подставляем \( A = -7 \) в остальные уравнения и решаем систему:

1. \(-7 + B + C = 0 \Rightarrow B + C = 7\)
2. \(-7 + C + D = 3 \Rightarrow C + D = 10\)
3. \(-7 + B + D = 4 \Rightarrow B + D = 11\)

Решим эту систему:

3. Подставляем \( C \) и \( B \) в \( B + C = 7 \): \[ 11 - D + 10 - D = 7 \Rightarrow 21 - 2D = 7 \Rightarrow 2D = 14 \Rightarrow D = 7 \]
4. Теперь найдем \( C \) и \( B \): \[ C = 10 - 7 = 3 \] \[ B = 11 - 7 = 4 \]

Итак, получили: \( A = -7, B = 4, C = 3, D = 7 \)

Теперь запишем оригинал функции: \[ \overline{f(p)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+1} + \frac{Cp+D}{p^2+1} = \frac{-7}{p} + \frac{4}{p+1} + \frac{3p+7}{p^2+1} \]

Таким образом, мы нашли оригинал функции.