Найти обратное преобразование Лапласа

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (Преобразование Лапласа)

Дано выражение для преобразования Лапласа:

\frac{4(p+3)}{\left((p+3)^2 + 1\right)^2}.

Необходимо найти его обратное преобразование Лапласа.

Шаг 1: Анализ выражения

Обратное преобразование Лапласа связано с нахождением оригинальной функции f(t), которая соответствует заданной передаточной функции в области p.

Выражение имеет вид, связанный с производными от стандартных функций. Попробуем упростить его и воспользоваться таблицами преобразований Лапласа.

Шаг 2: Замена переменной

Упростим выражение, введя замену q = p + 3. Тогда p = q - 3, и выражение становится:

 \frac{4q}{\left(q^2 + 1\right)^2}. 

Теперь мы будем работать с этой функцией.

Шаг 3: Используем стандартное преобразование Лапласа

Из таблиц преобразований Лапласа известно:

1. Для функции \frac{t \sin(t)}{2} преобразование Лапласа имеет вид:
   \mathcal{L}\left[\frac{t \sin(t)}{2}\right] = \frac{s}{(s^2 + 1)^2}.

2. В нашем выражении есть множитель 4, который можно вынести за знак преобразования.

Шаг 4: Обратное преобразование

С учетом таблицы преобразований, обратное преобразование Лапласа для функции \frac{4q}{\left(q^2 + 1\right)^2} будет:

 f(t) = 4 \cdot \frac{t \sin(t)}{2} = 2t \sin(t). 

Шаг 5: Возвращаемся к исходной переменной

Напомним, мы делали замену q = p + 3. Это означает, что сдвиг на 3 в области p соответствует умножению на e^{-3t} в области времени. Таким образом, окончательная функция будет:

 f(t) = 2t \sin(t) e^{-3t}. 

Ответ: Обратное преобразование Лапласа для функции
\frac{4(p+3)}{\left((p+3)^2 + 1\right)^2}
равно:
f(t) = 2t \sin(t) e^{-3t}.