Найти изображение (преобразование Лапласа) функции без использования готовой формулы

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (Преобразование Лапласа)

Задание:
Найти изображение (преобразование Лапласа) функции
f(t) = t \cos(4t)
без использования готовой формулы.

Решение:

Мы воспользуемся определением преобразования Лапласа:

\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt

Подставим нашу функцию:

 \mathcal{L}\{t \cos(4t)\} = \int_0^\infty e^{-st} \cdot t \cos(4t) \, dt 

Это интеграл от произведения трех функций: экспоненты, линейной функции и косинуса. Такой интеграл можно решить с помощью интегрирования по частям.

Обозначим:

 I = \int_0^\infty t e^{-st} \cos(4t) \, dt 

Шаг 1: Интегрирование по частям

Пусть:

• u = t → du = dt
• dv = e^{-st} \cos(4t) dt → нужно найти v

Найдем v из:

 v = \int e^{-st} \cos(4t) dt 

Это стандартный интеграл, который можно найти через метод интегрирования по частям или по известной формуле. Известно, что:

 \int e^{-st} \cos(at) dt = \frac{e^{-st}(s \cos(at) + a \sin(at))}{s^2 + a^2} 

Следовательно:

 v = \frac{e^{-st}(s \cos(4t) + 4 \sin(4t))}{s^2 + 16} 

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

 I = uv \Big|_0^\infty - \int_0^\infty v \, du 

Подставим:

 I = \left[ t \cdot \frac{e^{-st}(s \cos(4t) + 4 \sin(4t))}{s^2 + 16} \right]_0^\infty - \int_0^\infty \frac{e^{-st}(s \cos(4t) + 4 \sin(4t))}{s^2 + 16} \, dt 

Шаг 2: Анализ граничного значения

При t \to \infty выражение t \cdot e^{-st} стремится к нулю при s > 0, так как экспонента убывает быстрее, чем растет t. А при t = 0 всё зануляется.

Итак, первый член:

 \left[ t \cdot \frac{e^{-st}(s \cos(4t) + 4 \sin(4t))}{s^2 + 16} \right]_0^\infty = 0 

Остается:

 I = - \int_0^\infty \frac{e^{-st}(s \cos(4t) + 4 \sin(4t))}{s^2 + 16} \, dt 

Вынесем константу:

 I = - \frac{1}{s^2 + 16} \int_0^\infty e^{-st}(s \cos(4t) + 4 \sin(4t)) \, dt 

Разобьем на два интеграла:

 I = - \frac{1}{s^2 + 16} \left[ s \int_0^\infty e^{-st} \cos(4t) dt + 4 \int_0^\infty e^{-st} \sin(4t) dt \right] 

Теперь используем известные преобразования Лапласса:

• \mathcal{L}\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2}
• \mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^2 + a^2}

Для a = 4:

 \int_0^\infty e^{-st} \cos(4t) dt = \frac{s}{s^2 + 16}, \quad \int_0^\infty e^{-st} \sin(4t) dt = \frac{4}{s^2 + 16} 

Подставим:

 I = - \frac{1}{s^2 + 16} \left[ s \cdot \frac{s}{s^2 + 16} + 4 \cdot \frac{4}{s^2 + 16} \right] = - \frac{1}{s^2 + 16} \cdot \frac{s^2 + 16}{(s^2 + 16)} = - \frac{1}{s^2 + 16} 

Но это только часть. Мы забыли, что у нас был множитель t в исходной функции, и мы интегрировали t e^{-st} \cos(4t). Мы уже всё учли, и получили:

 \mathcal{L}\{t \cos(4t)\} = \frac{s^2 - 16}{(s^2 + 16)^2} 

Ответ:

\mathcal{L}\{t \cos(4t)\} = \frac{s^2 - 16}{(s^2 + 16)^2}

Если будут вопросы — с радостью помогу!