Найти изображение (преобразование Лапласа) функции

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (Преобразование Лапласа)

Задание:

Найти изображение (преобразование Лапласа) функции
f(t) = \int_0^t \tau \sinh(2\tau)\, d\tau

Решение:

Обозначим: f(t) = \int_0^t \tau \sinh(2\tau)\, d\tau

Это свёртка функции \tau \sinh(2\tau) с единичной функцией Хевисайда (или просто интеграл от функции по переменному верхнему пределу). Воспользуемся свойством преобразования Лапласа:

Если
f(t) = \int_0^t g(\tau)\, d\tau,
то
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s} \mathcal{L}\{g(t)\}

В данном случае: g(t) = t \sinh(2t)

Найдём преобразование Лапласа от g(t):

Из таблицы преобразований Лапласа:

\mathcal{L}\{t \sinh(at)\} = \frac{2a s}{(s^2 - a^2)^2}

Подставим a = 2:

\mathcal{L}\{t \sinh(2t)\} = \frac{4s}{(s^2 - 4)^2}

Теперь применим формулу:

\mathcal{L}\left\{ \int_0^t \tau \sinh(2\tau)\, d\tau \right\} = \frac{1}{s} \cdot \frac{4s}{(s^2 - 4)^2} = \frac{4}{(s^2 - 4)^2}

Ответ:

\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{4}{(s^2 - 4)^2}