Найти изображение по Лапласу (преобразование Лапласа) для заданной функции во временной области

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (Преобразование Лапласа)

Задание: Найти изображение по Лапласу (преобразование Лапласа) для заданной функции во временной области.

Шаг 1: Анализ графика функции

По графику видно, что функция ( f(t) ) представляет собой треугольник:

• От ( t = 2 ) до ( t = 3 ) — линейный рост от 0 до 5.
• От ( t = 3 ) до ( t = 4 ) — линейное убывание от 5 до 0.
• Вне этого интервала — функция равна нулю.

Шаг 2: Разбиение на участки и задание функции

1. На интервале [2, 3]: Это линейная функция, возрастающая от 0 до 5.

   Уравнение прямой:
   Проходит через точки ( (2, 0) ) и ( (3, 5) ).
   Уравнение прямой:

    f(t) = 5(t - 2), \quad 2 \le t \le 3 

2. На интервале [3, 4]: Линейное убывание от 5 до 0.

   Проходит через точки ( (3, 5) ) и ( (4, 0) ):

    f(t) = -5(t - 3) + 5 = -5t + 20, \quad 3 \le t \le 4 

Шаг 3: Представление с помощью единичной функции Хевисайда

Используем единичную функцию Хевисайда ( u(t - a) ):

 f(t) = 5(t - 2)u(t - 2) - 5(t - 3)u(t - 3) - 5(t - 4)u(t - 4) 

Почему так:

• Первый член: рост от 0 до 5 с 2 до 3.
• Второй: убирает линейный рост после 3.
• Третий: убирает убывание после 4.

Шаг 4: Преобразование Лапласа

Используем формулу:

 \mathcal{L}\{(t - a)^n u(t - a)\} = \frac{n! e^{-as}}{s^{n+1}} 

Первый член:

 \mathcal{L}\{5(t - 2)u(t - 2)\} = 5 \cdot \frac{e^{-2s}}{s^2} 

Второй член:

 \mathcal{L}\{5(t - 3)u(t - 3)\} = 5 \cdot \frac{e^{-3s}}{s^2} 

Третий член:

 \mathcal{L}\{5(t - 4)u(t - 4)\} = 5 \cdot \frac{e^{-4s}}{s^2} 

Шаг 5: Финальный ответ

 F(s) = 5 \cdot \left( \frac{e^{-2s}}{s^2} - \frac{e^{-3s}}{s^2} - \left( \frac{e^{-4s}}{s^2} - \frac{e^{-3s}}{s^2} \right) \right) 

Упрощаем:

 F(s) = 5 \left( \frac{e^{-2s}}{s^2} - 2\frac{e^{-3s}}{s^2} + \frac{e^{-4s}}{s^2} \right) 

Ответ:

 F(s) = \frac{5}{s^2} \left( e^{-2s} - 2e^{-3s} + e^{-4s} \right)