Найти изображение по Лапласу для функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения / Операционное исчисление (Преобразование Лапласа)

Задание:

Найти изображение по Лапласу для функции:

f(t) = \eta(t - 3) - t^4 \eta(t - 3)

Теория: Функция Хевисайда (Хевисайд, Heaviside step function)

Функция Хевисайда \eta(t - a) (или u(t - a)) — это ступенчатая функция, которая "включается" в момент времени t=a:

 \eta(t - a) = \begin{cases} 0, & t < a \ 1, & t \ge a \end{cases} 

Она часто используется для задания кусочных функций и сдвигов во времени при применении преобразования Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа

Если функция f(t) сдвинута на a и умножена на \eta(t - a), то используется теорема о сдвиге:

 \mathcal{L}\{f(t - a)\eta(t - a)\} = e^{-as} F(s) 

где F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} — оригинал функции без сдвига.

Решение:

Дана функция:

f(t) = \eta(t - 3) - t^4 \eta(t - 3)

Разделим её на две части:

1. \eta(t - 3)
2. t^4 \eta(t - 3)

1) Преобразование Лапласа от \eta(t - 3):

Это просто единичная ступенька, включающаяся при t = 3. То есть:

 \mathcal{L}\{\eta(t - 3)\} = \frac{e^{-3s}}{s} 

2) Преобразование Лапласа от t^4 \eta(t - 3):

Представим как сдвинутую функцию:

 t^4 \eta(t - 3) = [(t)^4] \eta(t - 3) = [(t - 3 + 3)^4] \eta(t - 3) 

Чтобы применить теорему о сдвиге, выразим через f(t - 3):

Рассмотрим f(t) = (t)^4, тогда:

 \mathcal{L}\{(t)^4 \eta(t - 3)\} = \mathcal{L}\{[(t - 3) + 3]^4 \eta(t - 3)\} 

Распишем биномиально:

 [(t - 3) + 3]^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (t - 3)^k \cdot 3^{4 - k} 

То есть:

 t^4 \eta(t - 3) = \left(\sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 3^{4 - k} (t - 3)^k \right) \eta(t - 3) 

Теперь каждое слагаемое имеет вид (t - 3)^k \eta(t - 3), и к каждому можно применить теорему о сдвиге:

 \mathcal{L}\{(t - 3)^k \eta(t - 3)\} = e^{-3s} \cdot \frac{k!}{s^{k+1}} 

Вычисление:

Распишем сумму:

 t^4 \eta(t - 3) = (t - 3)^4 + 4 \cdot 3 (t - 3)^3 + 6 \cdot 9 (t - 3)^2 + 4 \cdot 27 (t - 3) + 81 \eta(t - 3) 

 = (t - 3)^4 + 12(t - 3)^3 + 54(t - 3)^2 + 108(t - 3) + 81 \eta(t - 3) 

Теперь найдём Лаплас каждого слагаемого:

• \mathcal{L}\{(t - 3)^4 \eta(t - 3)\} = \frac{24 e^{-3s}}{s^5}
• \mathcal{L}\{12(t - 3)^3 \eta(t - 3)\} = 12 \cdot \frac{6 e^{-3s}}{s^4} = \frac{72 e^{-3s}}{s^4}
• \mathcal{L}\{54(t - 3)^2 \eta(t - 3)\} = 54 \cdot \frac{2 e^{-3s}}{s^3} = \frac{108 e^{-3s}}{s^3}
• \mathcal{L}\{108(t - 3) \eta(t - 3)\} = 108 \cdot \frac{1 e^{-3s}}{s^2} = \frac{108 e^{-3s}}{s^2}
• \mathcal{L}\{81 \eta(t - 3)\} = \frac{81 e^{-3s}}{s}

Сложим всё:

 \mathcal{L}\{t^4 \eta(t - 3)\} = e^{-3s} \left( \frac{24}{s^5} + \frac{72}{s^4} + \frac{108}{s^3} + \frac{108}{s^2} + \frac{81}{s} \right) 

Итог:

 \mathcal{L}\{f(t)\} = \mathcal{L}\{\eta(t - 3)\} - \mathcal{L}\{t^4 \eta(t - 3)\} 

 = \frac{e^{-3s}}{s} - e^{-3s} \left( \frac{24}{s^5} + \frac{72}{s^4} + \frac{108}{s^3} + \frac{108}{s^2} + \frac{81}{s} \right) 

Вынесем e^{-3s}:

 \mathcal{L}\{f(t)\} = e^{-3s} \left[ \frac{1}{s} - \left( \frac{24}{s^5} + \frac{72}{s^4} + \frac{108}{s^3} + \frac{108}{s^2} + \frac{81}{s} \right) \right] 

 = e^{-3s} \left( - \frac{24}{s^5} - \frac{72}{s^4} - \frac{108}{s^3} - \frac{108}{s^2} - \frac{80}{s} \right) 

Ответ:

 \mathcal{L}\{f(t)\} = e^{-3s} \left( - \frac{24}{s^5} - \frac{72}{s^4} - \frac{108}{s^3} - \frac{108}{s^2} - \frac{80}{s} \right)