Найти изображение функции по оригиналу с помощью преобразования Лапласа

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (Преобразование Лапласа)

Задача: Найти изображение функции по оригиналу с помощью преобразования Лапласа.

Дана функция:

f(t) = 2\sin^2 t + t^3 + 1

Шаг 1: Упростим выражение

Используем тригонометрическую формулу:

\sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2}

Тогда:

 \begin{align*} f(t) &= 2 \sin^2 t + t^3 + 1 \ &= 2 \cdot \frac{1 - \cos(2t)}{2} + t^3 + 1 \ &= (1 - \cos(2t)) + t^3 + 1 \ &= t^3 - \cos(2t) + 2 \end{align*} 

Шаг 2: Найдём преобразование Лапласа каждого слагаемого

1. \mathcal{L}\{t^3\} = \frac{6}{s^4}
2. \mathcal{L}\{\cos(2t)\} = \frac{s}{s^2 + 4}
3. \mathcal{L}\{2\} = \frac{2}{s}

Шаг 3: Соберём итоговое изображение

 \mathcal{L}\{f(t)\} = \mathcal{L}\{t^3\} - \mathcal{L}\{\cos(2t)\} + \mathcal{L}\{2\} = \frac{6}{s^4} - \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{2}{s} 

Ответ:

\boxed{\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{6}{s^4} - \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{2}{s}}