Найти изображение функции ( f(t) ) с помощью преобразования Лапласа

Предмет: Математика

Раздел: Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Необходимо найти изображение функции ( f(t) ) с помощью преобразования Лапласа. Напомним, что преобразование Лапласа определяется как:

 F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt. 

Рассмотрим каждую функцию по отдельности:

а) ( f(t) = \cos^2(7t) )

Используем тригонометрическое тождество:
 \cos^2(7t) = \frac{1 + \cos(14t)}{2}. 
Тогда
 F(s) = \mathcal{L} \left\{ \frac{1}{2} + \frac{\cos(14t)}{2} \right\}. 
Известно, что:
 \mathcal{L} \{ 1 \} = \frac{1}{s}, \quad \mathcal{L} \{ \cos(at) \} = \frac{s}{s^2 + a^2}. 
Следовательно,
 F(s) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s} + \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{s^2 + 196} = \frac{1}{2s} + \frac{s}{2(s^2 + 196)}. 

б) ( f(t) = \frac{t^2 - 1}{e^t} )

Используем свойство преобразования Лапласа:
 \mathcal{L} \left\{ e^{-t} f(t) \right\} = F(s+1). 
Где
 \mathcal{L} \{ t^2 - 1 \} = \frac{2}{s^3} - \frac{1}{s}. 
Тогда
 F(s) = \left( \frac{2}{(s+1)^3} - \frac{1}{s+1} \right). 

в) ( f(t) = t \sin(t - 3) )

Используем свойство сдвига:
 \mathcal{L} \{ f(t - a) u(t - a) \} = e^{-as} F(s), 
где
 \mathcal{L} \{ t \sin t \} = \frac{2s}{(s^2 + 1)^2}. 
Тогда
 F(s) = e^{-3s} \cdot \frac{2s}{(s^2 + 1)^2}. 

г) ( f(t) = e^{2t} \cos(3t) )

Используем свойство экспоненциального сдвига:
 \mathcal{L} \{ e^{at} f(t) \} = F(s - a). 
Где
 \mathcal{L} \{ \cos(3t) \} = \frac{s}{s^2 + 9}. 
Тогда
 F(s) = \frac{s - 2}{(s - 2)^2 + 9}. 

д) ( f(t) = \frac{\sin(2t)}{t} )

Используем известное преобразование Лапласа:
 \mathcal{L} \left\{ \frac{\sin(at)}{t} \right\} = \tan^{-1} \left( \frac{a}{s} \right). 
Тогда
 F(s) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{s} \right). 

Ответ:

1. (а) F(s) = \frac{1}{2s} + \frac{s}{2(s^2 + 196)}
2. (б) F(s) = \frac{2}{(s+1)^3} - \frac{1}{s+1}
3. (в) F(s) = e^{-3s} \cdot \frac{2s}{(s^2 + 1)^2}
4. (г) F(s) = \frac{s - 2}{(s - 2)^2 + 9}
5. (д) F(s) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{s} \right)