Найти изображение функции

Предмет: Математика

Раздел: Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Найдем изображение функции ( f(t) ), то есть вычислим преобразование Лапласа:

 F(s) = \mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt. 

Решение:

а) ( f(t) = \text{sh}(2t + 5) )

Используем свойство преобразования Лапласа для гиперболического синуса:
 \mathcal{L} \{ \text{sh}(at) \} = \frac{a}{s^2 - a^2}, \quad s > |a|. 
Однако, в данном случае аргумент сдвинут, поэтому используем свойство сдвига:
 \mathcal{L} \{ \text{sh}(2t + 5) \} = e^{-5s} \cdot \frac{2}{s^2 - 4}. 

б) ( f(t) = t^2 \cos 4t )

Используем известную формулу:  \mathcal{L} \{ t^n \cos(at) \} = \frac{s^2 - a^2}{(s^2 + a^2)^2}, \quad n = 2. 
Подставляя ( a = 4 ), получаем:  \mathcal{L} \{ t^2 \cos 4t \} = \frac{s^2 - 16}{(s^2 + 16)^2}. 

в) ( f(t) = t^3 e^{-3t} )

Используем свойство преобразования Лапласа для степенной функции и экспоненты:  \mathcal{L} \{ t^n e^{-at} \} = \frac{n!}{(s + a)^{n+1}}. 
При ( n = 3 ) и ( a = 3 ):  \mathcal{L} \{ t^3 e^{-3t} \} = \frac{6}{(s + 3)^4}. 

г) ( f(t) = t \cos t )

Используем стандартную формулу:  \mathcal{L} \{ t \cos(at) \} = \frac{s^2 - a^2}{(s^2 + a^2)^2}. 
Для ( a = 1 ) получаем:  \mathcal{L} \{ t \cos t \} = \frac{s^2 - 1}{(s^2 + 1)^2}. 

д) ( f(t) = \frac{\sin t}{t} )

Используем известное свойство:  \mathcal{L} \left\{ \frac{\sin t}{t} \right\} = \tan^{-1} \left( \frac{1}{s} \right). 

Ответ:

а) F(s) = e^{-5s} \cdot \frac{2}{s^2 - 4}
б) F(s) = \frac{s^2 - 16}{(s^2 + 16)^2}
в) F(s) = \frac{6}{(s + 3)^4}
г) F(s) = \frac{s^2 - 1}{(s^2 + 1)^2}
д) F(s) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{s} \right)