Найти изображение для функции оригинала

Ваше задание принадлежит области математики, и скорее всего разделу Дифференциальных уравнений или операционного исчисления, так как оно связано с нахождением изображения функции-оригинала \( t^3 \). Функция-оригинал \( t^3 \) представлена во временной области, и нам нужно найти её изображение в другой области. Обычно это преобразование производит преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа функции \( f(t) \) определяется следующим образом:

\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt \]

Рассмотрим функцию \( f(t) = t^3 \).

Шаг 1: Записываем общий вид преобразования Лапласа для \( t^3 \)

\[ \mathcal{L}\{t^3\} = \int_0^\infty t^3 e^{-st} \, dt \]

Шаг 2: Решаем интеграл

Для решения этого интеграла воспользуемся известным результатом из таблицы преобразований Лапласа:

\[ \mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}} \]

где \( n \) — натуральное число, а \( n! \) — факториал. В нашем случае \( n = 3 \), тогда

\[ \mathcal{L}\{t^3\} = \frac{3!}{s^{3+1}} \]

Шаг 3: Подставляем значение \( n \)

Вычислим факториал:

\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Поэтому изображение для функции-оригинала \( t^3 \) равно:

\[ \mathcal{L}\{t^3\} = \frac{6}{s^4} \]

Ответ

Изображение для функции-оригинала \( t^3 \) равно:

\[ \frac{6}{s^4} \]

Так, мы рассмотрели и решили задачу, последовательно объясняя каждый шаг.