Найти изображение для функции оригинала

Условие:

Найти изображение для функции оригинала

Решение:

Ваше задание принадлежит области **математики**, и скорее всего разделу **Дифференциальных уравнений** или **операционного исчисления**, так как оно связано с нахождением изображения функции-оригинала \( t^3 \). Функция-оригинал \( t^3 \) представлена во временной области, и нам нужно найти её изображение в другой области. Обычно это преобразование производит **преобразование Лапласа**. ### Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа функции \( f(t) \) определяется следующим образом: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt \] Рассмотрим функцию \( f(t) = t^3 \). ### Шаг 1: Записываем общий вид преобразования Лапласа для \( t^3 \) \[ \mathcal{L}\{t^3\} = \int_0^\infty t^3 e^{-st} \, dt \] ### Шаг 2: Решаем интеграл Для решения этого интеграла воспользуемся известным результатом из таблицы преобразований Лапласа: \[ \mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}} \] где \( n \) — натуральное число, а \( n! \) — факториал. В нашем случае \( n = 3 \), тогда \[ \mathcal{L}\{t^3\} = \frac{3!}{s^{3+1}} \] ### Шаг 3: Подставляем значение \( n \) Вычислим факториал: \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] Поэтому изображение для функции-оригинала \( t^3 \) равно: \[ \mathcal{L}\{t^3\} = \frac{6}{s^4} \] ### Ответ Изображение для функции-оригинала \( t^3 \) равно: \[ \frac{6}{s^4} \] Так, мы рассмотрели и решили задачу, последовательно объясняя каждый шаг.