Найти изображение для функции оригинала

Ваше задание принадлежит области математики, и скорее всего разделу Дифференциальных уравнений или операционного исчисления, так как оно связано с нахождением изображения функции-оригинала $\text{(}{t}^3\text{)}$. Функция-оригинал $\text{(}{t}^3\text{)}$ представлена во временной области, и нам нужно найти её изображение в другой области. Обычно это преобразование производит преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа функции $\text{(}f(t)\text{)}$ определяется следующим образом:

$\text{[}\mathcal{L}\{f(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt\text{]}$

Рассмотрим функцию $\text{(}f(t)=t^3\text{)}$.

Шаг 1: Записываем общий вид преобразования Лапласа для $\text{(}{t}^3\text{)}$

$\text{[}\mathcal{L}\{t^3\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^3{e}^{-st}dt\text{]}$

Шаг 2: Решаем интеграл

Для решения этого интеграла воспользуемся известным результатом из таблицы преобразований Лапласа:

$\text{[}\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\text{]}$

где $\text{(}n\text{)}$ — натуральное число, а $\text{(}n!\text{)}$ — факториал. В нашем случае $\text{(}n=3\text{)}$, тогда

$\text{[}\mathcal{L}\{t^3\}=\frac{3!}{s^{3+1}}\text{]}$

Шаг 3: Подставляем значение $\text{(}n\text{)}$

Вычислим факториал:

$\text{[}3!=3\times 2\times 1=6\text{]}$

Поэтому изображение для функции-оригинала $\text{(}{t}^3\text{)}$ равно:

$\text{[}\mathcal{L}\{t^3\}=\frac{6}{s^4}\text{]}$

Ответ

Изображение для функции-оригинала $\text{(}{t}^3\text{)}$ равно:

$\text{[}\frac{6}{s^4}\text{]}$

Так, мы рассмотрели и решили задачу, последовательно объясняя каждый шаг.