Найти функцию f(t) во временной области, используя обратное преобразование Лапласа

Предмет: Математика

Раздел: Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Условие:

Дана передаточная функция во временной области:
F(p) = \frac{3p^2 + 32p + 75}{p(p+5)^2}.

Необходимо найти функцию f(t) во временной области, используя обратное преобразование Лапласа.

Решение:

1. Разложим дробь на простые слагаемые:
   Для этого представим дробь в виде суммы:
   \frac{3p^2 + 32p + 75}{p(p+5)^2} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p+5} + \frac{C}{(p+5)^2},
   где A, B, C — коэффициенты, которые нужно определить.

2. Приводим дробь к общему знаменателю:
   \frac{A}{p} + \frac{B}{p+5} + \frac{C}{(p+5)^2} = \frac{A(p+5)^2 + Bp(p+5) + Cp}{p(p+5)^2}.

   Приравниваем числители:
   3p^2 + 32p + 75 = A(p+5)^2 + Bp(p+5) + Cp.

3. Раскрываем скобки и группируем по степеням p:

   • Раскрываем A(p+5)^2:
     A(p^2 + 10p + 25) = Ap^2 + 10Ap + 25A.
   • Раскрываем Bp(p+5):
     Bp^2 + 5Bp.
   • Оставляем Cp как есть.

4. Получаем:
   3p^2 + 32p + 75 = Ap^2 + 10Ap + 25A + Bp^2 + 5Bp + Cp.

   Группируем:
   (A + B)p^2 + (10A + 5B + C)p + 25A = 3p^2 + 32p + 75.

5. Находим коэффициенты, приравнивая сходные члены:

   • Для p^2:
     A + B = 3.
   • Для p:
     10A + 5B + C = 32.
   • Для свободного члена:
     25A = 75.

6. Решаем систему уравнений:

   • Из последнего уравнения:
     A = 3.
   • Подставляем A = 3 в первое уравнение:
     3 + B = 3 \implies B = 0.
   • Подставляем A = 3 и B = 0 во второе уравнение:
     10(3) + 5(0) + C = 32 \implies 30 + C = 32 \implies C = 2.

7. Таким образом, A = 3, B = 0, C = 2.

8. Разложение дроби:
   Подставляем найденные коэффициенты:
   \frac{3p^2 + 32p + 75}{p(p+5)^2} = \frac{3}{p} + \frac{0}{p+5} + \frac{2}{(p+5)^2}.
   Упрощаем:
   \frac{3p^2 + 32p + 75}{p(p+5)^2} = \frac{3}{p} + \frac{2}{(p+5)^2}.

9. Обратное преобразование Лапласа:
   Используем таблицу преобразований:

   • \frac{1}{p} \xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} 1, поэтому \frac{3}{p} \xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} 3.
   • \frac{1}{(p+a)^2} \xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} te^{-at}, поэтому \frac{2}{(p+5)^2} \xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}} 2te^{-5t}.

10. Таким образом:
    f(t) = 3 + 2te^{-5t}.

Ответ:

f(t) = 2te^{-5t} + 3.