Найти функцию f(t) в области времени, используя обратное преобразование Лапласа

Предмет: Математика

Раздел: Теория функций комплексного переменного (обратное преобразование Лапласа)

Дано выражение функции в области преобразования Лапласа:

F(p) = \frac{3p^2 + 20p - 64}{p^3 - 16p}.

Требуется найти функцию f(t) в области времени, используя обратное преобразование Лапласа. Ответ должен совпадать с данным справа:
f(t) = 2e^{4t} - 3e^{-4t} + 4.

Решение:

1. Разложим знаменатель на множители.
   Знаменатель:
   p^3 - 16p = p(p^2 - 16) = p(p - 4)(p + 4).

2. Разделим дробь на простые слагаемые (метод разложения на простые дроби): Представим дробь в виде:
   \frac{3p^2 + 20p - 64}{p(p - 4)(p + 4)} = \frac{A}{p} + \frac{B}{p - 4} + \frac{C}{p + 4},
   где A, B, C — неизвестные коэффициенты.

   Умножим обе части на p(p - 4)(p + 4) и приравняем числители:
   3p^2 + 20p - 64 = A(p - 4)(p + 4) + Bp(p + 4) + Cp(p - 4).

3. Раскрываем скобки и группируем:
   Раскроем каждую часть:

   • A(p - 4)(p + 4) = A(p^2 - 16),
   • Bp(p + 4) = B(p^2 + 4p),
   • Cp(p - 4) = C(p^2 - 4p).

4. Подставим:
   3p^2 + 20p - 64 = A(p^2 - 16) + B(p^2 + 4p) + C(p^2 - 4p).

   Сгруппируем по степеням p:
   3p^2 + 20p - 64 = (A + B + C)p^2 + (4B - 4C)p - 16A.

5. Сравним коэффициенты:
   Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях p:

   • При p^2: A + B + C = 3,
   • При p: 4B - 4C = 20,
   • Свободный член: -16A = -64.

6. Решаем систему:

   • Из последнего уравнения: A = 4,
   • Подставим A = 4 в первое уравнение:
     4 + B + C = 3 \implies B + C = -1,
   • Из второго уравнения:
     4B - 4C = 20 \implies B - C = 5.

7. Решим систему для B и C:

   • B + C = -1,
   • B - C = 5.

8. Сложим уравнения:
   2B = 4 \implies B = 2.

   Подставим B = 2 в B + C = -1:
   2 + C = -1 \implies C = -3.

   Итак, A = 4, B = 2, C = -3.

9. Запишем разложение на дроби:
   \frac{3p^2 + 20p - 64}{p(p - 4)(p + 4)} = \frac{4}{p} + \frac{2}{p - 4} - \frac{3}{p + 4}.

10. Найдем обратное преобразование Лапласа:

    • Для \frac{4}{p}:
      \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{4}{p}\right) = 4,
    • Для \frac{2}{p - 4}:
      \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{2}{p - 4}\right) = 2e^{4t},
    • Для \frac{-3}{p + 4}:
      \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{-3}{p + 4}\right) = -3e^{-4t}.

11. Суммируем:
    f(t) = 4 + 2e^{4t} - 3e^{-4t}.

Ответ:

f(t) = 2e^{4t} - 3e^{-4t} + 4.