Найти частные решения данных дифференцированных уравнения, удовлетворяющие указанным начальным условиям

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел предмета: Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом преобразования Лапласа

Условие:

Дано дифференциальное уравнение второго порядка:
x''(t) + 6x'(t) + 18x(t) = 50t e^{-2t},
с начальными условиями:
x(0) = 0, \, x'(0) = -5.

Требуется найти частное решение x(t), удовлетворяющее этим начальным условиям, с использованием метода преобразования Лапласа.

Решение:

1. Преобразование уравнения с помощью Лапласа

Обозначим преобразование Лапласа функции x(t) как X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\}. Применяем свойства преобразования Лапласа к каждому члену уравнения:

• Для x''(t):
  \mathcal{L}\{x''(t)\} = s^2 X(s) - sx(0) - x'(0) = s^2 X(s) + 5.
• Для x'(t):
  \mathcal{L}\{x'(t)\} = sX(s) - x(0) = sX(s).
• Для x(t):
  \mathcal{L}\{x(t)\} = X(s).
• Для правой части 50t e^{-2t}:
  Используем свойство преобразования Лапласа \mathcal{L}\{t e^{-at}\} = \frac{1}{(s + a)^2}, получаем:
  \mathcal{L}\{50t e^{-2t}\} = \frac{50}{(s + 2)^2}.

Подставляем все в уравнение:
s^2 X(s) + 5 + 6s X(s) + 18X(s) = \frac{50}{(s + 2)^2}.

2. Приведение к общему виду

Сгруппируем члены с X(s):
(s^2 + 6s + 18)X(s) + 5 = \frac{50}{(s + 2)^2}.

Выразим X(s):
X(s) = \frac{\frac{50}{(s + 2)^2} - 5}{s^2 + 6s + 18}.

3. Упрощение дроби

Разделим числитель на знаменатель:
X(s) = \frac{50}{(s + 2)^2 (s^2 + 6s + 18)} - \frac{5}{s^2 + 6s + 18}.

Знаменатель s^2 + 6s + 18 можно разложить на множители:
s^2 + 6s + 18 = (s + 3)^2 + 3^2.

Таким образом:
X(s) = \frac{50}{(s + 2)^2 ((s + 3)^2 + 9)} - \frac{5}{(s + 3)^2 + 9}.

4. Обратное преобразование Лапласа

Теперь найдем обратное преобразование Лапласа для каждого слагаемого.

1. Для \frac{50}{(s + 2)^2 ((s + 3)^2 + 9)} используем разложение на простые дроби, чтобы найти обратное преобразование. Это даст слагаемые вида t e^{-2t}, e^{-3t}\cos(3t) и e^{-3t}\sin(3t).

2. Для \frac{5}{(s + 3)^2 + 9} результатом будет e^{-3t}\cos(3t).

После вычислений получаем результат:
x(t) = -e^{-2t} + 5t e^{-2t} + e^{-3t}\cos(3t) - 3e^{-3t}\sin(3t).

Ответ:

x(t) = -e^{-2t} + 5t e^{-2t} + e^{-3t}\cos(3t) - 3e^{-3t}\sin(3t).