Найти частные решения данных дифференцированных уравнения, удовлетворяющие указанным начальным условиям

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел предмета: Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом преобразования Лапласа

Условие:

Дано дифференциальное уравнение второго порядка:
$x^{″}(t)+6x^{\prime }(t)+18x(t)=50t{e}^{-2t},$
с начальными условиями:
$x(0)=0,x^{\prime }(0)=-5.$

Требуется найти частное решение $x(t)$, удовлетворяющее этим начальным условиям, с использованием метода преобразования Лапласа.

Решение:

1. Преобразование уравнения с помощью Лапласа

Обозначим преобразование Лапласа функции $x(t)$ как $X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}.$ Применяем свойства преобразования Лапласа к каждому члену уравнения:

• Для $x^{″}(t):$
  $\mathcal{L}\{x^{″}(t)\}=s^{2}X(s)-sx(0)-x^{\prime }(0)=s^{2}X(s)+5.$
• Для $x^{\prime }(t):$
  $\mathcal{L}\{x^{\prime }(t)\}=sX(s)-x(0)=sX(s).$
• Для $x(t):$
  $\mathcal{L}\{x(t)\}=X(s).$
• Для правой части $50t{e}^{-2t}:$
  Используем свойство преобразования Лапласа $\mathcal{L}\{t{e}^{-at}\}=\frac{1}{(s+a{)}^2},$ получаем:
  $\mathcal{L}\{50t{e}^{-2t}\}=\frac{50}{(s+2{)}^2}.$

Подставляем все в уравнение:
$s^{2}X(s)+5+6sX(s)+18X(s)=\frac{50}{(s+2{)}^2}.$

2. Приведение к общему виду

Сгруппируем члены с $X(s):$
$(s^2+6s+18)X(s)+5=\frac{50}{(s+2{)}^2}.$

Выразим $X(s):$
$X(s)=\frac{\frac{50}{(s+2{)}^2}-5}{s^2+6s+18}.$

3. Упрощение дроби

Разделим числитель на знаменатель:
$X(s)=\frac{50}{(s+2{)}^2(s^2+6s+18)}-\frac{5}{s^2+6s+18}.$

Знаменатель $s^2+6s+18$ можно разложить на множители:
$s^2+6s+18=(s+3{)}^2+3^2.$

Таким образом:
$X(s)=\frac{50}{(s+2{)}^2((s+3{)}^2+9)}-\frac{5}{(s+3{)}^2+9}.$

4. Обратное преобразование Лапласа

Теперь найдем обратное преобразование Лапласа для каждого слагаемого.

1. Для $\frac{50}{(s+2{)}^2((s+3{)}^2+9)}$ используем разложение на простые дроби, чтобы найти обратное преобразование. Это даст слагаемые вида $t{e}^{-2t}$, $e^{-3t}\cos (3t)$ и $e^{-3t}\sin (3t).$

2. Для $\frac{5}{(s+3{)}^2+9}$ результатом будет $e^{-3t}\cos (3t).$

После вычислений получаем результат:
$x(t)=-e^{-2t}+5t{e}^{-2t}+e^{-3t}\cos (3t)-3e^{-3t}\sin (3t).$

Ответ:

$x(t)=-e^{-2t}+5t{e}^{-2t}+e^{-3t}\cos (3t)-3e^{-3t}\sin (3t).$