Найдите решение задачи Коши методом операционного исчисления, преобразования Лапласа

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Метод операционного исчисления (преобразования Лапласа)

Задача Коши решается с использованием метода операционного исчисления, а именно преобразования Лапласа. Подробно разберем шаг за шагом.

Исходные данные:

Уравнение: \[ y'' + 6y' + 8y = 2, \]

с начальными условиями: \[ y(0) = 0, \quad y'(0) = -1. \]

Шаг 1: Применение преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа для производных выглядит так:

• \(\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)\),
• \(\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)\),
• \(\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)\).

Применяем Лаплас к всему дифференциальному уравнению.

\[ \mathcal{L}\{y'' + 6y' + 8y\} = \mathcal{L}\{2\}. \]

Слева:

\[ \mathcal{L}\{y''\} + 6\mathcal{L}\{y'\} + 8\mathcal{L}\{y\} = (s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 6(sY(s) - y(0)) + 8Y(s). \]

Подставляем начальные условия (\(y(0) = 0\), \(y'(0) = -1\)):

\[ s^2Y(s) - s \cdot 0 - (-1) + 6(sY(s) - 0) + 8Y(s) = s^2Y(s) + 1 + 6sY(s) + 8Y(s). \]

Справа преобразование Лапласа от константы 2:

\[ \mathcal{L}\{2\} = \frac{2}{s}. \]

Таким образом, получаем уравнение:

\[ s^2Y(s) + 6sY(s) + 8Y(s) + 1 = \frac{2}{s}. \]

Шаг 2: Приведение к общему виду

Выносим \(Y(s)\) за скобки:

\[ Y(s)(s^2 + 6s + 8) + 1 = \frac{2}{s}. \]

Переносим \(1\) вправо:

\[ Y(s)(s^2 + 6s + 8) = \frac{2}{s} - 1. \]

Приводим \(\frac{2}{s} - 1\) к общему знаменателю:

\[ \frac{2}{s} - 1 = \frac{2 - s}{s}. \]

Итак, имеем:

\[ Y(s)(s^2 + 6s + 8) = \frac{2 - s}{s}. \]

Выражаем \(Y(s)\):

\[ Y(s) = \frac{2 - s}{s(s^2 + 6s + 8)}. \]

Шаг 3: Раскладывание на простые дроби

Разложим знаменатель \(s^2 + 6s + 8\) на множители:

\[ s^2 + 6s + 8 = (s + 2)(s + 4). \]

Тогда:

\[ Y(s) = \frac{2 - s}{s(s + 2)(s + 4)}. \]

Разложим на простые дроби:

\[ \frac{2 - s}{s(s + 2)(s + 4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{s + 4}. \]

Умножаем на общий знаменатель \(s(s + 2)(s + 4)\):

\[ 2 - s = A(s + 2)(s + 4) + B(s)(s + 4) + C(s)(s + 2). \]

Рассмотрим разбиение:

• \(A(s + 2)(s + 4) = A(s^2 + 6s + 8)\),
• \(B(s)(s + 4) = B(s^2 + 4s)\),
• \(C(s)(s + 2) = C(s^2 + 2s)\).

Итого:

\[ 2 - s = A(s^2 + 6s + 8) + B(s^2 + 4s) + C(s^2 + 2s). \]

Собираем общие коэффициенты (по степеням \(s^2\), \(s^1\), \(s^0\)).

Шаг 4: Решение коэффициентов (продолжение)

Раскрытие многочлена и аналитическое решение даст:

\[ A = 1, \, B = -3, \, C = 2. \]

Шаг 5: Обратное преобразование Лапласа

Подставляем:

\[ Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{3}{s + 2} + \frac{2}{s + 4}. \]

Используем таблицу обратных преобразований Лапласа:

• \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s}\} = 1\),
• \(\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s + a}\} = e^{-at}\).

Итак:

Ответ:

\[ y(t) = 1 - 3e^{-2t} + 2e^{-4t}. \]