Найдите изображение по оригиналу по Лапласу, более подробнее про функцию хевнсайда

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (Преобразование Лапласа)

Задано выражение:

f(t) = \eta(t - 1) - 2\eta(t - 0.5)

Здесь \eta(t) — это функция Хевисайда, также известная как единичная ступенчатая функция.

? О функции Хевисайда

Функция Хевисайда \eta(t) определяется так:

 \eta(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \ 1, & t \geq 0 \end{cases} 

Сдвинутая функция Хевисайда \eta(t - a) "включается" в момент времени t = a.

? Преобразование Лапласа функции Хевисайда

Преобразование Лапласа от \eta(t - a):

 \mathcal{L}\{\eta(t - a)\} = \frac{e^{-as}}{s}, \quad a \geq 0 

? Применим преобразование Лапласа к заданной функции:

Заданная функция:

 f(t) = \eta(t - 1) - 2\eta(t - 0.5) 

Преобразование Лапласа:

 \mathcal{L}\{f(t)\} = \mathcal{L}\{\eta(t - 1)\} - 2\mathcal{L}\{\eta(t - 0.5)\} 

Подставим формулы:

 \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{e^{-s}}{s} - 2\cdot\frac{e^{-0.5s}}{s} 

✅ Ответ:

 \boxed{ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{e^{-s}}{s} - \frac{2e^{-0.5s}}{s} } 

Если есть желание — могу также построить график этой функции.