Найдем Преобразование Лапласа этой функции

Предмет: Математика
Раздел: Операционное исчисление (Преобразование Лапласа)

На изображении дана функция:

f(t) = \cos(2t) \cdot \sin(9t)

Найдем Преобразование Лапласа этой функции.

Шаг 1: Используем тригонометрическую формулу

Используем формулу произведения тригонометрических функций:

\cos(a t)\sin(b t) = \frac{1}{2} \left[\sin((a + b)t) - \sin((a - b)t)\right]

В нашем случае:

• a = 2
• b = 9

Тогда:

 f(t) = \cos(2t)\sin(9t) = \frac{1}{2}[\sin(11t) - \sin(7t)] 

Шаг 2: Преобразование Лапласа для синуса

Из таблицы преобразований Лапласа:

\mathcal{L}\{\sin(at)\} = \frac{a}{s^2 + a^2}

Применим это к каждому слагаемому:

 \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{2} \left( \mathcal{L}\{\sin(11t)\} - \mathcal{L}\{\sin(7t)\} \right) 

 = \frac{1}{2} \left( \frac{11}{s^2 + 121} - \frac{7}{s^2 + 49} \right) 

Ответ:

 \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{2} \left( \frac{11}{s^2 + 121} - \frac{7}{s^2 + 49} \right) 

Если нужно — могу также найти обратное преобразование Лапласа или построить график функции.